Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 \mathrm{~cm}. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.
(b) Calcular E(X) e V(X).
R. (a)
F(x)=0, x \leq 0, F(x)=(6 \sqrt{3}-x) x / 27,0<x<3 \sqrt{3}, F(x)=1, x \geq 3 \sqrt{3}
e f(x)=(6 \sqrt{3}-2 x) / 27,0<x \leq 3 \sqrt{3} (b) E(X)=\sqrt{3} e V(X)=3 / 2.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos um ponto de forma uniforme dentro de um triângulo equilátero de lado L=6 cm. Definimos X como a distância desse ponto até a base fixa do triângulo. Para achar a f.d.a. e a d.f.p. de X, vamos usar o fato de que a probabilidade de X estar num pequeno intervalo [x,x+dx] é proporcional ao comprimento da “fatia” horizontal do triângulo a essa altura x.

Passo 2

Calcular a altura do triângulo e o comprimento da seção horizontal a uma distância x da base.
A altura total é
H = \frac{\sqrt{3}}{2}L = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6 = 3\sqrt{3}.
Numa altura x (com 0\le x\le H), a seção horizontal tem comprimento
\ell(x) = \frac{L}{H}\,(H - x) = \frac{6}{3\sqrt{3}}(3\sqrt{3}-x) = \frac{6\sqrt{3}-2x}{\sqrt{3}} =6 - \frac{2}{\sqrt{3}}\,x.

Passo 3

Encontrar a d.f.p. de X.
A área total do triângulo é
\text{Área}=\frac{L\cdot H}{2}=\frac{6\cdot3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}.Á
Como a distribuição é uniforme, a densidade por unidade de área vale 1/(9\sqrt{3}). Assim, a densidade marginal de X é
f(x) =\frac{\ell(x)}{\text{Área}} =\frac{6 - \frac{2}{\sqrt{3}}\,x}{9\sqrt{3}} =\frac{6\sqrt{3}-2x}{27}, \quad 0<x<3\sqrt{3},Á
e f(x)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Obter a f.d.a. de X integrando f. Para 0<x<3\sqrt{3},
F(x) =\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\frac{6\sqrt{3}-2t}{27}\,dt =\frac{6\sqrt{3}\,x - x^2}{27} =\frac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}.
Logo
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\\ \dfrac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\\\ 1, & x\ge3\sqrt{3}. \end{cases}

Passo 5

Calcular E(X).
E(X) =\int_{0}^{3\sqrt{3}}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{3\sqrt{3}}x\frac{6\sqrt{3}-2x}{27}\,dx.
Fazendo as integrais
\int_{0}^{H}x\,dx=\frac{H^2}{2}=\frac{(3\sqrt{3})^2}{2}=\frac{27}{2}, \quad \int_{0}^{H}x^2\,dx=\frac{H^3}{3}=\frac{(3\sqrt{3})^3}{3}=27\sqrt{3},
obtém-se
E(X) =\frac{6\sqrt{3}\,\frac{27}{2}-2\cdot27\sqrt{3}}{27} =\sqrt{3}.

Passo 6

Calcular \mathrm{Var}(X). Primeiro E(X^2):
E(X^2) =\int_{0}^{3\sqrt{3}}x^2\,f(x)\,dx =\int_{0}^{3\sqrt{3}}x^2\frac{6\sqrt{3}-2x}{27}\,dx.
Usando
\int_{0}^{H}x^3\,dx=\frac{H^4}{4}=\frac{(3\sqrt{3})^4}{4}=\frac{729}{4},
chega-se a
E(X^2)=\frac{6\sqrt{3}\cdot27\sqrt{3}-2\cdot\frac{729}{4}}{27} =\frac{486-364,5}{27}=4,5=\frac{9}{2}.
Portanto
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{9}{2}-(\sqrt{3})^2 =\frac{9}{2}-3 =\frac{3}{2}.

Resposta

(a) A f.d.a. e a d.f.p. de X são
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\[6pt] \dfrac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\[6pt] 1, & x\ge3\sqrt{3}, \end{cases} \quad f(x)= \begin{cases} \dfrac{6\sqrt{3}-2x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
(b)
E(X)=\sqrt{3}, \quad V(X)=\frac{3}{2}.]

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