Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 \mathrm{~cm}. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.
(b) Calcular E(X) e V(X).
R. (a) F(x)=0, x \leq 0, F(x)=(6 \sqrt{3}-x) x / 27,0<x<3 \sqrt{3}, F(x)=1, x \geq 3 \sqrt{3}
e f(x)=(6 \sqrt{3}-2 x) / 27,0<x \leq 3 \sqrt{3} (b) E(X)=\sqrt{3} e V(X)=3 / 2.
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos um ponto de forma uniforme dentro de um triângulo equilátero de lado L=6 cm. Definimos X como a distância desse ponto até a base fixa do triângulo. Para achar a f.d.a. e a d.f.p. de X, vamos usar o fato de que a probabilidade de X estar num pequeno intervalo [x,x+dx] é proporcional ao comprimento da “fatia” horizontal do triângulo a essa altura x.
Passo 2
Calcular a altura do triângulo e o comprimento da seção horizontal a uma distância x da base.
A altura total é
H = \frac{\sqrt{3}}{2}L = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6 = 3\sqrt{3}.
Numa altura x (com 0\le x\le H), a seção horizontal tem comprimento