(2,5 pontos - 10 minutos) Introdução a mecânica quântica para descrição do átomo.
O que é um nó? Qual a quantidade de nós radiais e angulares dos seguintes orbitais 1 \mathrm{~s}, 3 \mathrm{p}, 4 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá. O enunciado pergunta:
  • “O que é um nó?”
  • “Qual a quantidade de nós radiais e angulares dos seguintes orbitais 1s, 3p, 4s?”
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
  • Os orbitais a analisar são 1s, 3p e 4s.
  • Cada orbital é identificado pelos números quânticos implícitos na notação n\ell: o número principal n e o momento angular \ell (por exemplo, em 3p tem-se n=3 e \ell=1).
Nada mais é fornecido; a tarefa é explicar o que é um nó e calcular o número de nós radiais e angulares para cada um desses orbitais.

Passo 2

O que é um nó (definição física e matemática).
  • Em mecânica quântica o estado estacionário de um elétron num átomo é descrito por uma função de onda \psi(r,\theta,\varphi). A probabilidade de encontrar o elétron num ponto é proporcional à densidade de probabilidade |\psi(r,\theta,\varphi)|^{2}.
  • Um nó é uma região onde a função de onda se anula, isto é, onde \psi(r,\theta,\varphi)=0. Nesses pontos a densidade de probabilidade é zero: não há chance de achar o elétron ali.
  • Para átomos com simetria esférica a função de onda separa-se em parte radial e parte angular:
\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)\,Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi),
onde R_{n\ell}(r) é a função radial (depende só de r) e Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi) é a parte angular (os harmônicos esféricos).
  • Assim, zeros da função de onda podem vir de:
    • R_{n\ell}(r)=0 para algum r>0 — esses são nós radiais (esferas concêntricas onde \psi=0).
    • Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi)=0 para certas direções — esses são nós angulares (planos ou cones que cortam a esfera, dependendo do \ell,m).

Passo 3

Quais são os números quânticos e como identificá-los a partir da notação do orbital.
  • Número principal n: n=1,2,3,\dots. Ele determina a energia (no átomo de hidrogênio) e, em conjunto com \ell, a forma radial.
  • Número azimutal (ou momento angular) \ell: \ell=0,1,\dots,n-1. Cada valor de \ell tem uma letra: \ell=0\Rightarrow s, \ell=1\Rightarrow p, \ell=2\Rightarrow d, etc.
  • Número magnético m: m=-\ell,\dots,\ell (não precisaremos de m aqui para contar nós).
Agora identificar n e \ell para cada orbital pedido:
  • Para 1s: n=1, \ell=0.
  • Para 3p: n=3, \ell=1.
  • Para 4s: n=4, \ell=0.

Passo 4

Fórmulas práticas para contar nós (a ferramenta de prova).
  • Há uma relação simples e muito usada em provas:
\text{nós angulares}=\ell, \qquad \text{nós radiais}=n-\ell-1.óó
  • Explicação rápida do porquê (intuição): o polinômio radial R_{n\ell}(r) tem exatamente n-\ell-1 zeros positivos (essas são as esferas nodais); a parte angular Y_{\ell}^{m} tem \ell superfícies nodais (porque o comportamento angular que depende de \ell tem \ell mudanças de sinal ao redor da esfera). Outra observação útil: o número total de nós (radiais + angulares) é n-1. Isso é fácil de lembrar na hora da prova: total de nós = n-1.

Passo 5

Cálculo para 1s.
  • Identificamos n=1 e \ell=0 (peguei esses valores da notação 1s).
  • Aplicando as fórmulas:
\text{nós angulares}=\ell=0,ó
\text{nós radiais}=n-\ell-1=1-0-1=0.ó
  • Interpretação: o orbital 1s não tem nós angulares nem radiais; a função de onda é positiva (ou negativa) em toda a nuvem e não se anula para r>0. Isso faz sentido: é a menor onda ligada, sem mudanças de sinal.

Passo 6

Cálculo para 3p.
  • Identificamos n=3 e \ell=1 (da notação 3p).
  • Aplicando as fórmulas:
\text{nós angulares}=\ell=1,ó
\text{nós radiais}=n-\ell-1=3-1-1=1.ó
  • Interpretação: o orbital 3p tem uma superfície angular nodal (para p-orbitais normalmente é um plano que passa pelo núcleo, separando as duas lobulações) e tem uma esfera radial onde R_{31}(r)=0, ou seja, existe uma casca esférica a certa distância em que a função de onda muda de sinal.

Passo 7

Cálculo para 4s.
  • Identificamos n=4 e \ell=0 (da notação 4s).
  • Aplicando as fórmulas:
\text{nós angulares}=\ell=0,ó
\text{nós radiais}=n-\ell-1=4-0-1=3.ó
  • Interpretação: o orbital 4s não tem nós angulares (é esfericamente simétrico) e tem três nós radiais — ou seja, três esferas concêntricas onde a função de onda se anula; entre essas esferas a função de onda muda de sinal.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumo rápido e memo):
  • Memorize a regra: nós angulares =\ell; nós radiais =n-\ell-1; total =n-1.
  • Para identificar n e \ell rapidamente: olhe a notação n (número) e a letra s,p,d,\dots que dá \ell=0,1,2,\dots.
  • Se pedir apenas “o que é um nó?” diga que é um lugar onde \psi=0 (logo |\psi|^{2}=0), e especifique radial (esferas) vs angular (planos/cones), usando a separação \psi=R_{n\ell}(r)Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi).

Resposta

1s: 0 nós radiais e 0 nós angulares
3p: 1 nó radial e 1 nó angular
4s: 3 nós radiais e 0 nós angulares