(2,0 pontos) Calcular as seguintes integrais indefinidas.
a) integral e^x(1+e^x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício faz parte do estudo de integrais na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que temos uma função composta dentro da integral, u = 1 + e^x . Vamos definir:
Isso simplifica a expressão dentro do parêntese.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x dx para substituir . Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral e^x(1+e^x)^2 dx = integral u^2 du e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas .

Passo 5

Vamos integrar integral u^2 du = u^33 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^33 + C = (1 + e^x)^33 + C pela expressão original :

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^x(1+e^x)^2 dx = (1 + e^x)^33 + C

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