(1,5 pontos) Calcule os limites, caso existam. Justifique suas afirmações.
Passo 1
O enunciado pede para calcular (ou mostrar que não existe) o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função considerada é
, que está indefinida em porque o denominador se anula aí. - A tarefa é determinar se o limite quando
se aproxima de existe; e, caso exista, calcular seu valor; caso não exista, justificar.
Passo 2
Entendendo o que significa “o limite existe” em duas variáveis (explicação didática).
- Para dizer que
existe, é necessário que, para qualquer maneira de aproximar de (por qualquer caminho), os valores de se aproximem do mesmo número . - Uma técnica prática e muito usada em provas é testar limites ao longo de retas (caminhos do tipo
) ou de sequências diferentes. Se dois caminhos deram limites diferentes, então o limite em não existe. Isso é suficiente para provar não existência.
Passo 3
Aplicando a técnica das retas
(aula prática).
- Considere aproximar
por pontos sobre a reta , com constante real e . Substituindo na função:
- Simplificando (para
):
Passo 4
Interpretação do resultado da substituição por
.
- O valor obtido
não depende de ; depende apenas de (ou seja, do ângulo/da direção pela qual se aproxima a origem). - Logo, ao aproximar
ao longo de diferentes retas podemos obter valores diferentes para o limite, se variar com . - Exemplo concreto: para
(eixo ):
Para
(reta
):
Como os dois caminhos dão valores distintos (1 e 0), já temos evidência forte de que o limite não existe.
Passo 5
Argumento com sequências (rigorizar a conclusão).
- Defina duas sequências de pontos que convergem para
: -
. Para esses pontos, (ou seja ), e
para todo , então . -
. Aqui (ou seja ), e
para todo , então . -
- Como duas sequências que convergem para
dão limites diferentes (1 e 0), conclui-se rigorosamente que o limite bidimensional não existe.
Passo 6
Comentário extra (polar) — usar em prova para ver dependência angular.
- Em coordenadas polares
tem-se
- O valor para
depende de ; por exemplo dá , enquanto dá . Isso confirma que o limite dependeria da direção e, portanto, não existe.
Passo 7
Conclusão final: pelo argumento dos caminhos (ou pelas sequências) o limite não é único e, portanto, não existe.
Resposta
Não existe.