(1,5 pontos) Calcule os limites, caso existam. Justifique suas afirmações.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)^{\frac{x^{2}+x y}{x^{2}+y^{2}}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (ou mostrar que não existe) o seguinte limite:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+x y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+x y}{x^{2}+y^{2}}, que está indefinida em (0,0) porque o denominador se anula aí.
  • A tarefa é determinar se o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) existe; e, caso exista, calcular seu valor; caso não exista, justificar.

Passo 2

Entendendo o que significa “o limite existe” em duas variáveis (explicação didática).
  • Para dizer que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe, é necessário que, para qualquer maneira de aproximar (x,y) de (0,0) (por qualquer caminho), os valores de f(x,y) se aproximem do mesmo número L.
  • Uma técnica prática e muito usada em provas é testar limites ao longo de retas (caminhos do tipo y=kx) ou de sequências diferentes. Se dois caminhos deram limites diferentes, então o limite em \mathbb{R}^2 não existe. Isso é suficiente para provar não existência.

Passo 3

Aplicando a técnica das retas y=kx (aula prática).
  • Considere aproximar (0,0) por pontos sobre a reta y=kx, com k constante real e x\neq0. Substituindo y=kx na função:
\frac{x^{2}+x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+x(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{x^{2}(1+k)}{x^{2}(1+k^{2})}.
  • Simplificando (para x\neq0):
\frac{x^{2}+x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1+k}{1+k^{2}}.

Passo 4

Interpretação do resultado da substituição por y=kx.
  • O valor obtido \dfrac{1+k}{1+k^{2}} não depende de x; depende apenas de k (ou seja, do ângulo/da direção pela qual se aproxima a origem).
  • Logo, ao aproximar (0,0) ao longo de diferentes retas y=kx podemos obter valores diferentes para o limite, se \dfrac{1+k}{1+k^{2}} variar com k.
  • Exemplo concreto: para k=0 (eixo x):
\frac{1+0}{1+0^{2}}=1.
Para k=-1 (reta y=-x):
\frac{1+(-1)}{1+(-1)^{2}}=\frac{0}{2}=0.
Como os dois caminhos dão valores distintos (1 e 0), já temos evidência forte de que o limite não existe.

Passo 5

Argumento com sequências (rigorizar a conclusão).
  • Defina duas sequências de pontos que convergem para (0,0):
    • \displaystyle (x_n,y_n) = \left(\frac{1}{n},\,0\right). Para esses pontos, y_n=0 (ou seja k=0), e
    f(x_n,y_n)=\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{1}{n}\cdot 0}{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+0^{2}}=1para todo n, então \lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n)=1.
    • \displaystyle (x_n,y_n) = \left(\frac{1}{n},\,-\frac{1}{n}\right). Aqui y_n=-x_n (ou seja k=-1), e
    f(x_n,y_n)=\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{1}{n}\left(-\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{n}\right)^{2}}=0para todo n, então \lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n)=0.
  • Como duas sequências que convergem para (0,0) dão limites diferentes (1 e 0), conclui-se rigorosamente que o limite bidimensional não existe.

Passo 6

Comentário extra (polar) — usar em prova para ver dependência angular.
  • Em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta tem-se
\frac{x^{2}+xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\big(\cos^{2}\theta+\cos\theta\sin\theta\big)}{r^{2}}=\cos^{2}\theta+\cos\theta\sin\theta.
  • O valor para r\to0 depende de \theta; por exemplo \theta=0 1, enquanto \theta=-\pi/4 0. Isso confirma que o limite dependeria da direção e, portanto, não existe.

Passo 7

Conclusão final: pelo argumento dos caminhos (ou pelas sequências) o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

Não existe.

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