(2 pontos) Determine a área de superfície do tronco de cone gerado pela rotaçio do grifico em torno do eixo x.
y=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}, \quad 2 \leq x \leq 5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dado: a curva y=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3} no intervalo 2 \leq x \leq 5.
  • Pedido: determinar a área da superfície gerada pela rotação dessa curva em torno do eixo x (ou seja, a área lateral do tronco de cone obtido).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma reta, então ao rotacioná-la em torno do eixo x obtemos um tronco de cone.
  • Os limites de integração são x=2 e x=5.
  • A função nunca é negativa nesse intervalo (verificável substituindo os valores extremos), então a fórmula padrão para área de superfície de revolução vale sem problemas.

Passo 2

Apresentar e explicar a fórmula que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • Ideia geométrica: dividir a curva em pequenos pedaços horizontais de comprimento aproximado ds. Cada pedaço, ao girar em torno do eixo x, gera uma pequena faixa cilíndrica de área aproximada 2\pi y\,ds (circunferência 2\pi y vezes comprimento ds). Somando (integrando) obtemos a área total.
  • Fórmula de superfície de revolução em torno do eixo x:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando cada símbolo:
  • S é a área da superfície gerada.
  • a e b são os limites em x (aqui a=2, b=5).
  • y(x) é a distância radial do ponto até o eixo x (aqui é a própria função \dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}).
  • y'(x) é a derivada de y em relação a x.
  • \sqrt{1+(y')^2} é o fator que transforma dx no comprimento de arco ds: ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx.
Essa é a fórmula clássica e suficiente para a nossa reta.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x) e simplificar o integrando.
  • A função é y(x)=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{x+2}{3}.
  • Derivando, obtemos
y'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}.
  • Então
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}.
  • O fator \dfrac{\sqrt{10}}{3} é constante, então ele pode sair da integral. Assim a integral da fórmula fica
S=2\pi\int_{2}^{5} y(x)\,\sqrt{1+(y')^2}\,dx =2\pi\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{3}\int_{2}^{5} y(x)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \int_{2}^{5} y(x)\,dx passo a passo e combinar constantes.
  • Escrevendo y(x)=\dfrac{x+2}{3}, temos
\int_{2}^{5} y(x)\,dx=\int_{2}^{5}\dfrac{x+2}{3}\,dx=\dfrac{1}{3}\int_{2}^{5}(x+2)\,dx.
  • Calcule a primitiva:
\int (x+2)\,dx=\dfrac{x^2}{2}+2x.
  • Portanto
\dfrac{1}{3}\int_{2}^{5}(x+2)\,dx=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{2}^{5}.
  • Avaliando nos limites:
\left[\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{2}^{5}=\left(\dfrac{25}{2}+10\right)-\left(\dfrac{4}{2}+4\right) =\left(\dfrac{25}{2}+\dfrac{20}{2}\right)-\left(\dfrac{4}{2}+\dfrac{8}{2}\right) =\dfrac{45}{2}-\dfrac{12}{2}=\dfrac{33}{2}.
  • Multiplicando pelo \dfrac{1}{3}
\int_{2}^{5} y(x)\,dx=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{33}{2}=\dfrac{33}{6}=\dfrac{11}{2}.
  • Voltemos à expressão de S:
S=2\pi\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot\int_{2}^{5} y(x)\,dx =2\pi\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot\dfrac{11}{2}.
  • Simplificando os fatores 2 e 1/2:
S=\dfrac{11\pi\sqrt{10}}{3}.

Resposta

\dfrac{11\pi\sqrt{10}}{3}

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