(2 pontos) Determine a área de superfície do tronco de cone gerado pela rotaçio do grifico em torno do eixo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dado: a curva
no intervalo . - Pedido: determinar a área da superfície gerada pela rotação dessa curva em torno do eixo
(ou seja, a área lateral do tronco de cone obtido).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma reta, então ao rotacioná-la em torno do eixo
obtemos um tronco de cone. - Os limites de integração são
e . - A função nunca é negativa nesse intervalo (verificável substituindo os valores extremos), então a fórmula padrão para área de superfície de revolução vale sem problemas.
Passo 2
Apresentar e explicar a fórmula que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
-
Ideia geométrica: dividir a curva em pequenos pedaços horizontais de comprimento aproximado
. Cada pedaço, ao girar em torno do eixo , gera uma pequena faixa cilíndrica de área aproximada (circunferência vezes comprimento ). Somando (integrando) obtemos a área total. -
Fórmula de superfície de revolução em torno do eixo
:
Explicando cada símbolo:
-
é a área da superfície gerada. -
e são os limites em (aqui , ). -
é a distância radial do ponto até o eixo (aqui é a própria função ). -
é a derivada de em relação a . -
é o fator que transforma no comprimento de arco : .
Essa é a fórmula clássica e suficiente para a nossa reta.
Passo 3
Calcular a derivada
e simplificar o integrando.
- A função é
. - Derivando, obtemos
- Então
- O fator
é constante, então ele pode sair da integral. Assim a integral da fórmula fica
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo e combinar constantes.
- Escrevendo
, temos
- Calcule a primitiva:
- Portanto
- Avaliando nos limites:
- Multiplicando pelo
dá
- Voltemos à expressão de
:
- Simplificando os fatores
e :