( 2,0 pontos) Encontre as assíntotas verticais da função
\stackrel{\text { D }}{H(x)}=\frac{2 x}{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado dá a função H(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-25} e pede que encontremos as assíntotas verticais.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é H(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-25}.
  • O que se pede: encontrar os valores de x onde há assíntotas verticais (ou seja, onde a função “explode” para \pm\infty).
    Nada mais foi dado.

Passo 2

Identificar pontos onde o denominador se anula: pontos candidatos a assíntota ou possível buraco. Vamos fatorar o denominador:
x^{2}-25=(x-5)(x+5).
Portanto as raízes do denominador são x=5 e x=-5. Esses são os pontos que precisamos examinar.

Passo 3

Verificar se em cada um desses pontos o numerador também se anula (caso o numerador anulasse junto com o denominador, poderia haver um buraco removível em vez de assíntota). O numerador é 2x. Avaliando:
2x\big|_{x=5}=2\cdot5=10\neq0, \qquad 2x\big|_{x=-5}=2\cdot(-5)=-10\neq0.
Como o numerador não se anula em x=5 nem em x=-5, isso já indica fortemente que cada um desses pontos é uma assíntota vertical (porque divisão por zero com numerador não nulo costuma produzir infinitos).

Passo 4

Para ter certeza e para aprender a justificar na prova, calculamos os limites laterais que mostram a divergência para infinito. Começamos por x\to5. Analisamos o sinal de cada fator perto de x=5:
  • Para x\to5^+: (x-5)>0 e (x+5)>0 então x^{2}-25>0. O numerador 2x>0. Logo \dfrac{2x}{x^{2}-25}\to+\infty.
  • Para x\to5^-: (x-5)<0 e (x+5)>0 então x^{2}-25<0. O numerador 2x>0. Logo \dfrac{2x}{x^{2}-25}\to-\infty.
    Assim temos:
\lim_{x\to5^-}H(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to5^+}H(x)=+\infty,
o que confirma que x=5 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Repetimos a análise em x=-5. Sinais perto de x=-5:
  • Para x\to-5^+ (chegando por valores maiores que -5): (x+5)>0 e (x-5)<0, então x^{2}-25<0. O numerador 2x<0. Divisão: negativo sobre negativo = positivo, logo H(x)\to+\infty.
  • Para x\to-5^- (chegando por valores menores que -5): (x+5)<0 e (x-5)<0, então x^{2}-25>0. O numerador 2x<0. Divisão: negativo sobre positivo = negativo, logo H(x)\to-\infty.
    Portanto
\lim_{x\to-5^-}H(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-5^+}H(x)=+\infty,
o que confirma que x=-5 é uma assíntota vertical.

Passo 6

Resumo didático rápido (como justificar na prova):
  • Ache as raízes do denominador (aqui x=\pm5).
  • Verifique se o numerador anula nesses pontos (se anular em ambos, pode ser buraco; se não, tende a infinito). Aqui o numerador não anula, então são candidatos.
  • Calcule os limites laterais ou faça análise de sinais dos fatores para mostrar que a função tende a \pm\infty ao se aproximar do ponto. Se algum dos limites laterais for infinito (ou ambos, possivelmente com sinais diferentes), então há assíntota vertical naquele x.
    Um exemplo contrastante: \dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} tem cancelamento do fator x-1 e, depois de simplificar, é x+1 com um buraco removível em x=1 (não há assíntota). Por isso é importante checar se o numerador cancela o denominador.

Resposta

x=5
x=-5