( 5 pontos) Em um experimento, diversas massas são posicionadas no extremo de duas molas distintas, verificando-se o deslocamento. As medidas foram posicionadas nas tabelas abaixo (Lei de Hooke para molas: P=k x onde x é o deslocamento da mola e k uma constante vinculada as molas.
Tabela 2: Mola 2
Table 1: Tabela 1: Mola 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Medida
Massa ( \pm 0,01)(\mathrm{g})
Peso (N)
Deslocamento ( \pm 2 ) (mm)
Medida
Massa ( \pm 0,01)(\mathrm{g})
Peso (N)
Deslocamento ( \boldsymbol{\pm} \mathbf{1} ) (mm)
0
zero
zero
zero
0
zero
zero
zero
1
56,34
52
1
71,34
32
2
107,15
163
2
138,26
63
3
156,39
154
3
196,39
90
4
207,35
234
4
269,35
134
5
234,78
334
5
334,78
147
a) Sendo a força envolvida a força Peso, faça uma nova tabela, calculando o Peso para cada medida, com sua incerteza.
\left(\text { Peso }=\text { massa } x g \quad \text { onde } g \text { aceleração da gravidade }=9,80 \pm 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) .
b) Elabore um gráfico do Peso (eixo y) em função do Deslocamento (eixo x) com somente um par de eixos e os dois gráficos no mesmo papel milimetrado (modo comparativo).
c) Calcule a regressão linear y=A+B x, identificando \mathrm{A}, \mathrm{B} com suas incertezas.
d) Mostre a descrição física de A e B, com as unidades vinculadas, para cada uma das molas.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e me deu os dados experimentais para duas molas (Mola 1 e Mola 2). Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular o Peso para cada medida (força peso P) e a incerteza de cada P.
(b) Fazer um gráfico comparativo: P (eixo y) em função do deslocamento x (eixo x), com as duas molas no mesmo par de eixos.
(c) Calcular a regressão linear y=A+Bx (usar as fórmulas fornecidas) e obter A, B com suas incertezas.
(d) Interpretar fisicamente A e B (unidades e significado) para cada mola.
Dados relevantes do enunciado (peguei direto da tabela enviada):
Aceleração da gravidade: \,g = 9,80 \pm 0,05\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Incerteza nas massas: \pm 0,01\\ \mathrm{g}.
Deslocamentos e suas incertezas: para Mola 1 deslocamento com \pm 2\\ \mathrm{mm}; para Mola 2 deslocamento com \pm 1\\ \mathrm{mm}.
Dados (vou apresentar massa em gramas e deslocamento em mm conforme a tabela):
Observações importantes (não resolvo nada aqui; apenas enumero condições):
Para calcular P uso \,P=m g com massa em kg.
Incerteza das massas \Delta m = 0,01\\ \mathrm{g} = 1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg}.
Incerteza de g é \Delta g = 0,05\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Não foi pedido regressão ponderada pelas incertezas; usarei as fórmulas fornecidas (regressão simples não ponderada) e usarei x em metros (para que a constante resultante B tenha unidade padrão \mathrm{N/m}).
Passo 2
(a) Como calcular P e sua incerteza — aula-micro e método passo-a-passo.
Conversão de unidades:
Massa em gramas \to quilogramas: \,m(\mathrm{kg}) = m(\mathrm{g})/1000.
Deslocamentos mais adiante vou transformar em metros para a regressão: x(\mathrm{m}) = x(\mathrm{mm})/1000.
Fórmula do peso e propagação de incerteza (explicação): \
A força peso é dada por
P = m\,g.
Se m e g têm incertezas independentes \Delta m e \Delta g, a incerteza em P (pela propagação linear de erros, para produto) é
\Delta P = \sqrt{(g\,\Delta m)^{2} + (m\,\Delta g)^{2}}.
\Delta m = 1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta g = 0{,}05\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Aplicação direta para cada medida (mostro o cálculo para cada linha e o resultado final arredondado adequadamente). Vou apresentar os resultados já calculados (muito trabalho manual show-mechanics escondido, mas aqui estão os números prontos):
Mola 1 — converti massas para kg, calculei P=m g e \Delta P com a fórmula acima.
Explicando os arredondamentos: mostrei P com 5 casas significativas razoáveis e \Delta P com 2–3 algarismos significativos (suficiente para comparação e para plotar barras de erro).
Comentário pedagógico: a incerteza em P é dominada pelo termo m\,\Delta g (porque \Delta g é relativamente grande comparado com \Delta m quando multiplicado por m), por isso \Delta P aumenta com a massa.
Passo 3
(b) Como elaborar o gráfico comparativo P vs x (instruções práticas e o que plotar). Aula rápida sobre gráfico:
Escolha de unidades e escala: eu usei x em metros para a regressão; para desenhar num papel milimetrado pode ser mais prático manter x em mm (porque deslocamentos já estão em mm). Aqui dou instruções para desenhar mantendo x em mm (fácil de marcar):
Eixo x: deslocamento \,x de 0 a 350\\ \mathrm{mm}. Marcar de 0 em 50 mm (ou 25 mm) dependendo da malha do papel.
Eixo y: peso P de 0 a 3{,}5\\ \mathrm{N}. Marcar de 0 em 0,25 N ou 0,5 N conforme a malha.
Pontos a plotar (usei os valores de P calculados no Passo 2). Listei os pares (x\\ \mathrm{(mm)},\\ P\\ \mathrm{(N)}) para cada mola — assim você só precisa transpor para o papel:
Barras de erro: desenhe barras horizontais de \pm 2\\ \mathrm{mm} para cada ponto da Mola 1 e \pm 1\\ \mathrm{mm} para a Mola 2; desenhe barras verticais \pm \Delta P conforme valores das tabelas anteriores. Isso mostra visualmente as incertezas.
Ajuste visual e reta de ajuste: depois de plotar os pontos com barras de erro, trace as duas retas de melhor ajuste (uma para cada conjunto). Como exercício manual para a prova, você pode traçar a reta “a olho” passando aproximadamente pelo centro dos pontos; aqui calculamos as retas exatas no Passo 5 e Passo 6 (use esas retas para desenhar no papel).
Dica motivadora: faça primeiro os eixos e escalas com calma; marque os pontos pequenos e use régua para as retas. Vai dar certo!
Passo 4
(c) Regressão linear — explicação do método e aplicação (vou usar x em metros para que B fique em \mathrm{N/m}).
Fórmulas dadas (repetindo e explicando símbolos):
\begin{aligned} B &= \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},\\[4pt] A &= \frac{\sum y_i - B \sum x_i}{n}, \end{aligned}
onde n é o número de pontos (aqui n=6 por mola), x_i é o deslocamento em metros, y_i é o peso em newtons.
Cálculo para Mola 1 (usei valores x em metros: 0,\\\ 0{,}052,\\\ 0{,}163,\\\ 0{,}154,\\\ 0{,}234,\\\ 0{,}334 e os y do Passo 2). Aqui apresento as somas intermediárias e os resultados numéricos:
Breve interpretação do processo (didática): B quantifica quanto o peso cresce quando o deslocamento cresce — isto é exatamente a constante elástica da mola (quando x está em metros, B tem unidade \mathrm{N/m}). A é o valor de P quando x=0 no ajuste linear; idealmente deveria ser zero, mas experimentalmente pode estar diferente por erro sistemático, atrito, alinhamento, leitura inicial, etc.]
Passo 5
(d) Descrição física de A e B com unidades vinculadas (explicação amigável e curta para a prova).
B: coeficiente angular da reta P=A+Bx. Fisicamente, para molas, B corresponde à constante elástica da mola k. Unidade (quando x está em metros e P em newtons) é \mathrm{N/m}. Assim:
Para a Mola 1: k_{1} = B_{1} \approx 7{,}04\\ \mathrm{N/m} (com incerteza \approx 0{,}96\\ \mathrm{N/m}). Indica que a Mola 1 é mais “mole” (menor constante).
Para a Mola 2: k_{2} = B_{2} \approx 21{,}14\\ \mathrm{N/m} (com incerteza \approx 1{,}02\\ \mathrm{N/m}). Indica mola mais rígida.
A: intercepto da reta, com unidade de força (\mathrm{N}). Interpretação física: valor de P extrapolado quando x=0. Idealmente deveria ser 0 (se a mola começa sem carga e sem deslocamento e sem forças residuais). Um A não nulo pode indicar: erro de calibração, tensão inicial da mola, leitura de referência não exatamente zero, ou ruído experimental. Numericamente:
Mola 1: A_{1}\approx 0{,}145\\ \mathrm{N} (incerteza 0{,}184\\ \mathrm{N}) — compatível com zero dentro da incerteza (ou seja, não podemos afirmar com segurança que exista uma força residual distinta de zero).
Mola 2: A_{2}\approx 0{,}0083\\ \mathrm{N} (incerteza 0{,}096\\ \mathrm{N}) — também compatível com zero dentro da incerteza.
Comentário encorajador: como as incertezas em A são maiores que os próprios valores obtidos, ambos os interceptos são compatíveis com zero — ótimo, isso indica que os dados não mostram claramente um offset sistemático além do ruído experimental.
(b) Pontos a plotar no mesmo par de eixos (eixo x em mm, eixo y em N) — desenhar barras de erro horizontais \pm 2\\ \mathrm{mm} (Mola 1) e \pm 1\\ \mathrm{mm} (Mola 2) e barras verticais \pm\Delta P: