( 5 pontos) Em um experimento, diversas massas são posicionadas no extremo de duas molas distintas, verificando-se o deslocamento. As medidas foram posicionadas nas tabelas abaixo (Lei de Hooke para molas: P=k x onde x é o deslocamento da mola e k uma constante vinculada as molas.
Tabela 2: Mola 2
Table 1: Tabela 1: Mola 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Medida Massa ( \pm 0,01)(\mathrm{g}) Peso (N) Deslocamento ( \pm 2 ) (mm) Medida Massa ( \pm 0,01)(\mathrm{g}) Peso (N) Deslocamento ( \boldsymbol{\pm} \mathbf{1} ) (mm)
0 zero zero zero 0 zero zero zero
1 56,34 52 1 71,34 32
2 107,15 163 2 138,26 63
3 156,39 154 3 196,39 90
4 207,35 234 4 269,35 134
5 234,78 334 5 334,78 147
a) Sendo a força envolvida a força Peso, faça uma nova tabela, calculando o Peso para cada medida, com sua incerteza.
\left(\text { Peso }=\text { massa } x g \quad \text { onde } g \text { aceleração da gravidade }=9,80 \pm 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) .çã
b) Elabore um gráfico do Peso (eixo y) em função do Deslocamento (eixo x) com somente um par de eixos e os dois gráficos no mesmo papel milimetrado (modo comparativo).
c) Calcule a regressão linear y=A+B x, identificando \mathrm{A}, \mathrm{B} com suas incertezas.
\begin{aligned} B & =\frac{n \sum x_{i} y_{i}-\sum x_{i} \sum y_{i}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}} & \sigma_{B} & =\sqrt{\frac{S}{(n-2)} \frac{n}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}} \\\ A & =\frac{\sum y_{i}-B \sum x_{i}}{n} & \sigma_{A} & =\sqrt{\frac{S}{(n-2)} \frac{\sum x_{i}^{2}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}} \end{aligned}
onde \sigma_{A} e \sigma_{B} correspondem a incerteza nas medidas de a e b. O valor de S é indicado por:
S=\sum_{i=1}^{n}\left[y_{i}-\left(A+B x_{i}\right)\right]^{2}
d) Mostre a descrição física de A e B, com as unidades vinculadas, para cada uma das molas.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e me deu os dados experimentais para duas molas (Mola 1 e Mola 2). Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Calcular o Peso para cada medida (força peso P) e a incerteza de cada P.
  2. (b) Fazer um gráfico comparativo: P (eixo y) em função do deslocamento x (eixo x), com as duas molas no mesmo par de eixos.
  3. (c) Calcular a regressão linear y=A+Bx (usar as fórmulas fornecidas) e obter A, B com suas incertezas.
  4. (d) Interpretar fisicamente A e B (unidades e significado) para cada mola.
Dados relevantes do enunciado (peguei direto da tabela enviada):
  • Aceleração da gravidade: \,g = 9,80 \pm 0,05\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Incerteza nas massas: \pm 0,01\\ \mathrm{g}.
  • Deslocamentos e suas incertezas: para Mola 1 deslocamento com \pm 2\\ \mathrm{mm}; para Mola 2 deslocamento com \pm 1\\ \mathrm{mm}.
  • Dados (vou apresentar massa em gramas e deslocamento em mm conforme a tabela):
Mola 1 (medida 0 a 5):
\begin{array}{c|c|c} \text{Medida} & \text{Massa (g)} & \text{Deslocamento (mm)}\\hline 0 & 0,00 & 0\\\\ 1 & 56,34 & 52\\\\ 2 & 107,15 & 163\\\\ 3 & 156,39 & 154\\\\ 4 & 207,35 & 234\\\\ 5 & 234,78 & 334 \end{array}
Mola 2 (medida 0 a 5):
\begin{array}{c|c|c} \text{Medida} & \text{Massa (g)} & \text{Deslocamento (mm)}\\hline 0 & 0,00 & 0\\\\ 1 & 71,34 & 32\\\\ 2 & 138,26 & 63\\\\ 3 & 196,39 & 90\\\\ 4 & 269,35 & 134\\\\ 5 & 334,78 & 147 \end{array}
Observações importantes (não resolvo nada aqui; apenas enumero condições):
  • Para calcular P uso \,P=m g com massa em kg.
  • Incerteza das massas \Delta m = 0,01\\ \mathrm{g} = 1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg}.
  • Incerteza de g é \Delta g = 0,05\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Não foi pedido regressão ponderada pelas incertezas; usarei as fórmulas fornecidas (regressão simples não ponderada) e usarei x em metros (para que a constante resultante B tenha unidade padrão \mathrm{N/m}).

Passo 2

(a) Como calcular P e sua incerteza — aula-micro e método passo-a-passo.
  1. Conversão de unidades:
  • Massa em gramas \to quilogramas: \,m(\mathrm{kg}) = m(\mathrm{g})/1000.
  • Deslocamentos mais adiante vou transformar em metros para a regressão: x(\mathrm{m}) = x(\mathrm{mm})/1000.
  1. Fórmula do peso e propagação de incerteza (explicação): \
    A força peso é dada por
P = m\,g.
Se m e g têm incertezas independentes \Delta m e \Delta g, a incerteza em P (pela propagação linear de erros, para produto) é
\Delta P = \sqrt{(g\,\Delta m)^{2} + (m\,\Delta g)^{2}}.
Motivação rápida: se P=f(m,g)=m g, então (\Delta P)^{2} \approx \left(\frac{\partial P}{\partial m}\Delta m\right)^{2} + \left(\frac{\partial P}{\partial g}\Delta g\right)^{2} = (g\Delta m)^{2} + (m\Delta g)^{2}.
  1. Valores numéricos fixos a usar:
\Delta m = 1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta g = 0{,}05\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  1. Aplicação direta para cada medida (mostro o cálculo para cada linha e o resultado final arredondado adequadamente). Vou apresentar os resultados já calculados (muito trabalho manual show-mechanics escondido, mas aqui estão os números prontos):
Mola 1 — converti massas para kg, calculei P=m g e \Delta P com a fórmula acima.
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Medida} & m\\ (\mathrm{kg}) & P\\ (\mathrm{N}) & \Delta P\\ (\mathrm{N})\\hline 0 & 0{,}00000 & 0{,}00000 & 0{,}000098\\\\ 1 & 0{,}05634 & 0{,}55213 & 0{,}00282\\\\ 2 & 0{,}10715 & 1{,}05007 & 0{,}00536\\\\ 3 & 0{,}15639 & 1{,}53262 & 0{,}00782\\\\ 4 & 0{,}20735 & 2{,}03203 & 0{,}01037\\\\ 5 & 0{,}23478 & 2{,}30084 & 0{,}01174 \end{array}
Explicando os arredondamentos: mostrei P com 5 casas significativas razoáveis e \Delta P com 2–3 algarismos significativos (suficiente para comparação e para plotar barras de erro).
Mola 2 — mesma coisa:
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Medida} & m\\ (\mathrm{kg}) & P\\ (\mathrm{N}) & \Delta P\\ (\mathrm{N})\\hline 0 & 0{,}00000 & 0{,}00000 & 0{,}000098\\\\ 1 & 0{,}07134 & 0{,}69913 & 0{,}00357\\\\ 2 & 0{,}13826 & 1{,}35495 & 0{,}00691\\\\ 3 & 0{,}19639 & 1{,}92462 & 0{,}00982\\\\ 4 & 0{,}26935 & 2{,}63963 & 0{,}01347\\\\ 5 & 0{,}33478 & 3{,}28084 & 0{,}01674 \end{array}
Comentário pedagógico: a incerteza em P é dominada pelo termo m\,\Delta g (porque \Delta g é relativamente grande comparado com \Delta m quando multiplicado por m), por isso \Delta P aumenta com a massa.

Passo 3

(b) Como elaborar o gráfico comparativo P vs x (instruções práticas e o que plotar). Aula rápida sobre gráfico:
  1. Escolha de unidades e escala: eu usei x em metros para a regressão; para desenhar num papel milimetrado pode ser mais prático manter x em mm (porque deslocamentos já estão em mm). Aqui dou instruções para desenhar mantendo x em mm (fácil de marcar):
  • Eixo x: deslocamento \,x de 0 a 350\\ \mathrm{mm}. Marcar de 0 em 50 mm (ou 25 mm) dependendo da malha do papel.
  • Eixo y: peso P de 0 a 3{,}5\\ \mathrm{N}. Marcar de 0 em 0,25 N ou 0,5 N conforme a malha.
  1. Pontos a plotar (usei os valores de P calculados no Passo 2). Listei os pares (x\\ \mathrm{(mm)},\\ P\\ \mathrm{(N)}) para cada mola — assim você só precisa transpor para o papel:
Mola 1 — pontos:
(0,\\\ 0{,}00000),\\ (52,\\\ 0{,}55213),\\ (163,\\\ 1{,}05007),\\ (154,\\\ 1{,}53262),\\ (234,\\\ 2{,}03203),\\ (334,\\\ 2{,}30084).
Mola 2 — pontos:
(0,\\\ 0{,}00000),\\ (32,\\\ 0{,}69913),\\ (63,\\\ 1{,}35495),\\ (90,\\\ 1{,}92462),\\ (134,\\\ 2{,}63963),\\ (147,\\\ 3{,}28084).
  1. Barras de erro: desenhe barras horizontais de \pm 2\\ \mathrm{mm} para cada ponto da Mola 1 e \pm 1\\ \mathrm{mm} para a Mola 2; desenhe barras verticais \pm \Delta P conforme valores das tabelas anteriores. Isso mostra visualmente as incertezas.
  2. Ajuste visual e reta de ajuste: depois de plotar os pontos com barras de erro, trace as duas retas de melhor ajuste (uma para cada conjunto). Como exercício manual para a prova, você pode traçar a reta “a olho” passando aproximadamente pelo centro dos pontos; aqui calculamos as retas exatas no Passo 5 e Passo 6 (use esas retas para desenhar no papel).
Dica motivadora: faça primeiro os eixos e escalas com calma; marque os pontos pequenos e use régua para as retas. Vai dar certo!

Passo 4

(c) Regressão linear — explicação do método e aplicação (vou usar x em metros para que B fique em \mathrm{N/m}).
  1. Fórmulas dadas (repetindo e explicando símbolos):
\begin{aligned} B &= \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},\\[4pt] A &= \frac{\sum y_i - B \sum x_i}{n}, \end{aligned}
onde n é o número de pontos (aqui n=6 por mola), x_i é o deslocamento em metros, y_i é o peso em newtons.
Incertezas:
\begin{aligned} \sigma_B &= \sqrt{\frac{S}{(n-2)}\cdot\frac{n}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}},\\[4pt] \sigma_A &= \sqrt{\frac{S}{(n-2)}\cdot\frac{\sum x_i^2}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}}, \end{aligned}
com
S=\sum_{i=1}^{n}\big[y_i - (A+B x_i)\big]^2.
  1. Cálculo para Mola 1 (usei valores x em metros: 0,\\\ 0{,}052,\\\ 0{,}163,\\\ 0{,}154,\\\ 0{,}234,\\\ 0{,}334 e os y do Passo 2). Aqui apresento as somas intermediárias e os resultados numéricos:
  • n=6.
  • \sum x_i = 0{,}937\\ \mathrm{m}.
  • \sum y_i = 7{,}467698\\ \mathrm{N}.
  • \sum x_i^2 = 0{,}219301\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \sum x_i y_i = 1{,}679872978\\ \mathrm{N\cdot m}.
Aplicando a fórmula:
B = \frac{6\cdot 1{,}679872978 - 0{,}937\cdot 7{,}467698}{6\cdot 0{,}219301 - 0{,}937^{2}} \approx 7{,}039\\ \mathrm{N/m}.
A = \frac{7{,}467698 - 7{,}039\cdot 0{,}937}{6} \approx 0{,}1453\\ \mathrm{N}.
Cálculo de S (soma dos quadrados dos resíduos) e incertezas:
S \approx 0{,}269305\\ \mathrm{N^{2}}.
\sigma_B \approx 0{,}961\\ \mathrm{N/m},\qquad \sigma_A \approx 0{,}184\\ \mathrm{N}.
Portanto, para a Mola 1:
\boxed{A = 0{,}145 \pm 0{,}184\\ \mathrm{N},\qquad B = 7{,}04 \pm 0{,}96\\ \mathrm{N/m}.}
  1. Cálculo para Mola 2 (valores x em metros: 0,\\\ 0{,}032,\\\ 0{,}063,\\\ 0{,}090,\\\ 0{,}134,\\\ 0{,}147):
  • n=6.
  • \sum x_i = 0{,}466\\ \mathrm{m}.
  • \sum y_i = 9{,}899176\\ \mathrm{N}.
  • \sum x_i^2 = 0{,}052658\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \sum x_i y_i = 1{,}116944416\\ \mathrm{N\cdot m}.
Aplicando as fórmulas:
B = \frac{6\cdot 1{,}116944416 - 0{,}466\cdot 9{,}899176}{6\cdot 0{,}052658 - 0{,}466^{2}} \approx 21{,}136\\ \mathrm{N/m}.
A = \frac{9{,}899176 - 21{,}136\cdot 0{,}466}{6} \approx 0{,}0083\\ \mathrm{N}.
Cálculo de S e incertezas:
S \approx 0{,}06848\\ \mathrm{N^{2}}.
\sigma_B \approx 1{,}02\\ \mathrm{N/m},\qquad \sigma_A \approx 0{,}096\\ \mathrm{N}.
Portanto, para a Mola 2:
\boxed{A = 0{,}0083 \pm 0{,}096\\ \mathrm{N},\qquad B = 21{,}14 \pm 1{,}02\\ \mathrm{N/m}.}
Breve interpretação do processo (didática): B quantifica quanto o peso cresce quando o deslocamento cresce — isto é exatamente a constante elástica da mola (quando x está em metros, B tem unidade \mathrm{N/m}). A é o valor de P quando x=0 no ajuste linear; idealmente deveria ser zero, mas experimentalmente pode estar diferente por erro sistemático, atrito, alinhamento, leitura inicial, etc.]

Passo 5

(d) Descrição física de A e B com unidades vinculadas (explicação amigável e curta para a prova).
  • B: coeficiente angular da reta P=A+Bx. Fisicamente, para molas, B corresponde à constante elástica da mola k. Unidade (quando x está em metros e P em newtons) é \mathrm{N/m}. Assim:
    • Para a Mola 1: k_{1} = B_{1} \approx 7{,}04\\ \mathrm{N/m} (com incerteza \approx 0{,}96\\ \mathrm{N/m}). Indica que a Mola 1 é mais “mole” (menor constante).
    • Para a Mola 2: k_{2} = B_{2} \approx 21{,}14\\ \mathrm{N/m} (com incerteza \approx 1{,}02\\ \mathrm{N/m}). Indica mola mais rígida.
  • A: intercepto da reta, com unidade de força ( \mathrm{N}). Interpretação física: valor de P extrapolado quando x=0. Idealmente deveria ser 0 (se a mola começa sem carga e sem deslocamento e sem forças residuais). Um A não nulo pode indicar: erro de calibração, tensão inicial da mola, leitura de referência não exatamente zero, ou ruído experimental. Numericamente:
    • Mola 1: A_{1}\approx 0{,}145\\ \mathrm{N} (incerteza 0{,}184\\ \mathrm{N}) — compatível com zero dentro da incerteza (ou seja, não podemos afirmar com segurança que exista uma força residual distinta de zero).
    • Mola 2: A_{2}\approx 0{,}0083\\ \mathrm{N} (incerteza 0{,}096\\ \mathrm{N}) — também compatível com zero dentro da incerteza.
Comentário encorajador: como as incertezas em A são maiores que os próprios valores obtidos, ambos os interceptos são compatíveis com zero — ótimo, isso indica que os dados não mostram claramente um offset sistemático além do ruído experimental.

Resposta

(a) Tabelas dos Pesos P com incerteza \Delta P:
Mola 1:
\begin{array}{c|c|c} \text{Medida} & P\\ (\mathrm{N}) & \Delta P\\ (\mathrm{N})\\hline 0 & 0{,}00000 & 0{,}000098\\\\ 1 & 0{,}55213 & 0{,}00282\\\\ 2 & 1{,}05007 & 0{,}00536\\\\ 3 & 1{,}53262 & 0{,}00782\\\\ 4 & 2{,}03203 & 0{,}01037\\\\ 5 & 2{,}30084 & 0{,}01174 \end{array}
Mola 2:
\begin{array}{c|c|c} \text{Medida} & P\\ (\mathrm{N}) & \Delta P\\ (\mathrm{N})\\hline 0 & 0{,}00000 & 0{,}000098\\\\ 1 & 0{,}69913 & 0{,}00357\\\\ 2 & 1{,}35495 & 0{,}00691\\\\ 3 & 1{,}92462 & 0{,}00982\\\\ 4 & 2{,}63963 & 0{,}01347\\\\ 5 & 3{,}28084 & 0{,}01674 \end{array}
(b) Pontos a plotar no mesmo par de eixos (eixo x em mm, eixo y em N) — desenhar barras de erro horizontais \pm 2\\ \mathrm{mm} (Mola 1) e \pm 1\\ \mathrm{mm} (Mola 2) e barras verticais \pm\Delta P:
Mola 1: (0,\\\ 0{,}00000),\\ (52,\\\ 0{,}55213),\\ (163,\\\ 1{,}05007),\\ (154,\\\ 1{,}53262),\\ (234,\\\ 2{,}03203),\\ (334,\\\ 2{,}30084).
Mola 2: (0,\\\ 0{,}00000),\\ (32,\\\ 0{,}69913),\\ (63,\\\ 1{,}35495),\\ (90,\\\ 1{,}92462),\\ (134,\\\ 2{,}63963),\\ (147,\\\ 3{,}28084).
(c) Regressão linear y=A+Bx (aqui x em metros, y em newtons):
Mola 1:
A = 0{,}145 \pm 0{,}184\\ \mathrm{N},\qquad B = 7{,}04 \pm 0{,}96\\ \mathrm{N/m}.
Mola 2:
A = 0{,}0083 \pm 0{,}096\\ \mathrm{N},\qquad B = 21{,}14 \pm 1{,}02\\ \mathrm{N/m}.
(d) Interpretação física com unidades:
  • B é a constante elástica da mola k. Unidade: \mathrm{N/m}.
    • Mola 1: k_{1}\approx 7{,}04\\ \mathrm{N/m} ( \pm 0{,}96\\ \mathrm{N/m}).
    • Mola 2: k_{2}\approx 21{,}14\\ \mathrm{N/m} ( \pm 1{,}02\\ \mathrm{N/m}).
  • A é o intercepto (força extrapolada em x=0), unidade \mathrm{N}; valores obtidos são pequenos e, dentro das incertezas, compatíveis com zero:
    • Mola 1: A_{1}\approx 0{,}145\\ \mathrm{N} ( \pm 0{,}184\\ \mathrm{N}).
    • Mola 2: A_{2}\approx 0{,}0083\\ \mathrm{N} ( \pm 0{,}096\\ \mathrm{N}).

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