(2.0 pontos - EXTRA) Considere o campo
. Calcule a integral de linha
, onde
é a circunferencia
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para calcular a integral de linha
onde
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário (fechada, centro na origem e raio
).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- as componentes do campo vetorial (chamo-as de
e ); - a curva
é um circuito fechado e simples (a circunferência unidade) e está orientada positivamente (anti-horário).
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada de forma simples): para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva fechada, um método eficiente é verificar se o campo é conservativo (ou seja, é gradiente de alguma função potencial). Se for conservativo em toda a região que contém a curva, a integral de linha sobre qualquer curva fechada nessa região é
. Vou então:
- escrever
e ; - calcular
e ; - comparar as derivadas mistas; se forem iguais e as funções forem suficientemente suaves em toda a região (aqui são funções compostas de exponenciais, seno e cosseno, polinômios — todas suaves em
), então o campo é conservativo; - concluir que a integral no circuito fechado vale
. Vou também mostrar a função potencial explicitamente para fixar o conceito.
Passo 3
Identifico as componentes (para facilitar escrevo
e
):
Agora calculo
. Uso regra do produto e regra da cadeia onde necessário.
Derivando termo a termo:
-
-
-
é produto: .
A derivada(regra da cadeia, porque argumento é ).
Então
Somando tudo:
Passo 4
Agora calculo
. Novamente derivo termo a termo:
-
(derivo e é constante em ). -
-
é produto: .
A derivada.
Logo
Somando:
Passo 5
Comparando os resultados:
As derivadas mistas coincidem e
são funções suaves em toda
. Como a região interior da circunferência é simplesmente conexa e o campo tem derivadas contínuas, isso implica que
é um campo conservativo (existe uma função potencial
tal que
).
Passo 6
Para fixar a ideia, encontro explicitamente uma potencial
. Como
, integro
em relação a
:
Integrando termo a termo:
-
(porque é constante em ). -
-
(pois , multiplicando por dá ; esta formula é válida para , e o resultado estende por continuidade para ).
Somando e adicionando uma função de integração:
Derivando em
:
Para que
devemos ter
, logo
é constante. Assim uma potencial é
Confirmação final de que
.
Passo 7
Conclusão sobre a integral: pelo Teorema Fundamental para gradientes (ou pelo fato de que a integral de linha de um campo conservativo sobre qualquer curva fechada é
), obtemos
A orientação anti-horária não altera esse resultado (para curva fechada a integral de um gradiente é zero independentemente da orientação).