Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão das funções abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pontos de inflexão da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas para analisar a concavidade da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos de inflexão são aqueles onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e identificar onde ela muda de sinal.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
. A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Diferenciando
:
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Vamos encontrar onde
ou onde a segunda derivada não existe. Observando
, vemos que ela nunca é zero, mas é indefinida em
. Contudo, precisamos verificar a mudança de concavidade ao redor desse ponto.
Passo 6
Analisando o sinal de
:
- Para
, é positivo, então . A concavidade é para cima. - Para
, também é positivo, então . A concavidade continua para cima.
Como a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto, não há pontos de inflexão na função
.
Resposta
A função
não possui pontos de inflexão, e sua concavidade é para cima em todo o domínio onde a função está definida.