(2 pontos) Um Kg de água líquida ( \mathrm{V}=1006 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{Kg} ) em um dispositivo cilindro pistão a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar é comprimido até 1100 bar em um processo isotérmico mecanicamente reversível. Considerando que a expansividade volumétrica é de 230 \times 10^{-6} / \mathrm{K} e a compressibilidade isotérmica é de 40 \times 10^{-6} / bar e, que, o volume médio é mantido constante no processo, determine o seu valor do volume médio da água.

Passo 1

O enunciado dá 1 kg de água líquida a T=30^\circ\mathrm{C} e p_0=1 bar com volume inicial
V_0 = 1006\;\mathrm{cm^3/kg}.
O processo é isotérmico \Delta T=0, mecanicamente reversível, de p_0=1 bar até p_1=1100 bar.
Como \Delta T=0, a expansibilidade volumétrica \alpha não entra; vamos usar apenas a compressibilidade isotérmica
\beta = 40\times10^{-6}\;/\mathrm{bar}
para achar o volume como função da pressão e depois seu valor médio no intervalo de pressão.

Passo 2

Pela definição de compressibilidade isotérmica vale
\frac{dV}{V} = -\,\beta\,dp.
Integrando de p_0 até p e usando a aproximação linear (válida pois \beta\Delta p\ll1), temos
V(p)\approx V_0\bigl[1 - \beta\,(p - p_0)\bigr].

Passo 3

O volume final a p_1=1100 bar é
V_1 = V(p_1)\approx V_0\bigl[1 - \beta\,(p_1-p_0)\bigr] =1006\bigl[1 - (40\times10^{-6})\,(1100-1)\bigr]\;\mathrm{cm^3/kg}.
Calculando o termo numérico:
(40\times10^{-6})\times1099 =0{,}04396,
logo
V_1\approx1006\times(1 - 0{,}04396)=1006\times0{,}95604\approx961{,}8\;\mathrm{cm^3/kg}.

Passo 4

O valor médio de V durante a compressão é a média aritmética entre V_0 e V_1:
V_{\mathrm{m}} = \frac{V_0 + V_1}{2} = \frac{1006 + 961{,}8}{2}\approx983{,}9\;\mathrm{cm^3/kg}.

Resposta

O volume médio da água no processo vale aproximadamente
V_{\mathrm{m}}\approx984\;\mathrm{cm^3/kg}.

Exercícios relacionados