(3,5 pontos) Um mol de gás em sistema fechado é submetido a um processo mecanicamente reversível em duas etapas. Na primeira etapa, o ar a 9 bar e 150^{\circ} \mathrm{C} sofre um processo adiabático até um estado 2 onde a pressão é de 5 bar. A partir do estado 2 , o ar sofre um processo isocórico reduzindo a pressão para 4 bar. Considerando o gás como gás ideal com \mathrm{Cp}=(7 / 2) \mathrm{R}, calcule:
a) o trabalho total realizado no processo
b) a temperatura do ar no estado 2
c) (1,5 pontos ) a temperatura do ar no estado 3

Passo 1

O enunciado trata de 1 mol de gás ideal submetido a duas transformações reversíveis:
  1. Adiabática de 1\to 2 com P_{1}=9,bar, T_{1}=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15,K e P_{2}=5,bar.
  2. Isocórica de 2\to 3 reduzindo P_{2}=5,bar até P_{3}=4,bar.
    Vamos usar propriedades de gás ideal e as relações para processos adiabáticos e isocóricos.

Passo 2

Calcular C_{v} e \gamma:
C_{p} = \frac{7}{2}R
C_{v} = C_{p}-R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R
\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}} = \frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{7}{5} = 1{,}4

Passo 3

Usar a relação da adiabática reversível para achar T_{2}:
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}
T_{2} =423{,}15\;\mathrm{K}\times\Bigl(\frac{5}{9}\Bigr)^{\!\tfrac{1{,}4-1}{1{,}4}} \approx423{,}15\;\mathrm{K}\times(0{,}5556)^{0{,}2857} \approx357{,}7\;\mathrm{K}

Passo 4

Calcular o trabalho na etapa 1 usando Q=0 e \Delta U = nC_{v}(T_{2}-T_{1}), logo
W_{1\to2} =-\Delta U = -nC_{v}(T_{2}-T_{1}) =nC_{v}(T_{1}-T_{2})
W_{1\to2} =1\;\mathrm{mol}\times\frac{5}{2}R\times\bigl(423{,}15-357{,}7\bigr) =2{,}5\times8{,}314\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\times65{,}45\;\mathrm{K} \approx1\,361\;\mathrm{J}

Passo 5

Na etapa 2 (isocórica) não há trabalho de fronteira, logo
W_{2\to3}=0
W_{\text{total}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}=1\,361\;\mathrm{J}

Passo 6

Para a transformação isocórica vale
\frac{P_{2}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{3}} \quad\Longrightarrow\quad T_{3}=T_{2}\,\frac{P_{3}}{P_{2}} =357{,}7\;\mathrm{K}\times\frac{4}{5} \approx286{,}2\;\mathrm{K}

Resposta

a) W_{\text{total}}\approx1{,}36\;\mathrm{kJ}
b) T_{2}\approx357{,}7\;\mathrm{K}
c) T_{3}\approx286{,}2\;\mathrm{K}

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