( 2,0 pontos) Para o material prata, determine:
  • a probabilidade de estar ocupado a OK e a 1000 K o estado 0,05 \mathrm{eV} acima do seu nível de Fermi;
  • o valor da energia E do nível cuja probabilidade de ocupação é 92 \% a 1000 K ;
  • a probabilidade de estar desocupado o nível de energia do item 1
Dado: constante de Boltzmann =K_{B}=8,62 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o metal prata. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Pergunta A: “a probabilidade de estar ocupado a 0\\ \mathrm{K} e a 1000\\ \mathrm{K} o estado 0{,}05\\ \mathrm{eV} acima do seu nível de Fermi”. Ou seja, queremos f(E) para E = E_F + 0{,}05\\ \mathrm{eV} em duas temperaturas: T=0\\ \mathrm{K} e T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Pergunta B: "o valor da energia E do nível cuja probabilidade de ocupação é 92\% a 1000\\ \mathrm{K}". Ou seja, achar E tal que f(E)=0{,}92 para T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Pergunta C: “a probabilidade de estar desocupado o nível de energia do item 1”. Isto refere-se ao mesmo nível do item A (ou seja, E = E_F + 0{,}05\\ \mathrm{eV}); precisamos da probabilidade de não-ocupação, que é 1-f(E). Vou fornecer esses valores nas mesmas temperaturas pedidas no item A.
Dados fornecidos:
k_B = 8{,}62\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Nível considerado no item 1:
E = E_F + 0{,}05\\ \mathrm{eV}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática, tipo “cola” para a prova):
  • A distribuição de Fermi–Dirac dá a probabilidade f(E) de um nível de energia E estar ocupado por um elétron à temperatura T:
f(E)=\frac{1}{\exp\!\big(\dfrac{E-E_F}{k_B T}\big)+1}.
Aqui:
  • \,E é a energia do nível que estamos examinando;
  • \,E_F é o nível de Fermi (referência);
  • \,k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{eV/K});
  • \,T é a temperatura em kelvin.
  • Comportamento a 0\\ \mathrm{K}: a função degenera em “passo”:
    • se \,E<E_F então f(E)=1;
    • se \,E>E_F então f(E)=0;
    • se \,E=E_F então f(E)=\tfrac{1}{2}.
      Isso é importante: para níveis acima do Fermi a 0\\ \mathrm{K} a ocupação é zero.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo aos casos pedidos.

Passo 3

Cálculo da probabilidade de ocupação para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV} a 0\\ \mathrm{K}.
  • Observação: E está maior que E_F E_F mais 0{,}05\\ \mathrm{eV}). Pelo comportamento a 0\\ \mathrm{K} explicado antes:
f(E)=0\quad\text{(para }T=0\\ \mathrm{K}\text{ e }E>E_F\text{)}.
Portanto, a probabilidade de o nível estar ocupado a 0\\ \mathrm{K} é 0.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de ocupação para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV} a 1000\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro calculo o argumento do exponencial:
\frac{E-E_F}{k_B T}=\frac{0{,}05\\ \mathrm{eV}}{(8{,}62\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times 1000\\ \mathrm{K}}.
  • Calculo o denominador do quociente:
k_B T = 8{,}62\times 10^{-5}\times 1000 = 0{,}0862\\ \mathrm{eV}.
  • Então
\frac{E-E_F}{k_B T}=\frac{0{,}05}{0{,}0862}\approx 0{,}5806.
  • Agora aplico a fórmula de Fermi–Dirac:
f(E)=\frac{1}{\exp(0{,}5806)+1}.
  • Aproximando \exp(0{,}5806)\approx 1{,}787 (cálculo por série ou tabela),
f(E)\approx \frac{1}{1{,}787+1}=\frac{1}{2{,}787}\approx 0{,}359.
  • Interpretação: a probabilidade de ocupação desse nível a 1000\\ \mathrm{K} é aproximadamente 0{,}359 (ou 35{,}9\%).

Passo 5

Encontrar a energia E tal que f(E)=0{,}92 a T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Começo da fórmula e resolvo para E:
0{,}92 = \frac{1}{\exp\!\big(\dfrac{E-E_F}{k_B T}\big)+1}.
  • Invertendo para o exponencial:
\exp\!\big(\tfrac{E-E_F}{k_B T}\big)=\frac{1}{0{,}92}-1=\frac{1-0{,}92}{0{,}92}=\frac{0{,}08}{0{,}92}=0{,}0869565\ldots
  • Tomando logaritmo natural:
\frac{E-E_F}{k_B T}=\ln(0{,}0869565\ldots)\approx -2{,}442.
  • Multiplico por k_B T (já calculado no Passo 4: k_B T=0{,}0862\\ \mathrm{eV}):
E-E_F = (0{,}0862)\times(-2{,}442)\approx -0{,}2105\\ \mathrm{eV}.
  • Portanto
E \approx E_F - 0{,}2105\\ \mathrm{eV}.
  • Interpretação física: para ter 92\% de chance de ocupação a 1000\\ \mathrm{K}, o nível precisa estar cerca de 0{,}21\\ \mathrm{eV} abaixo do nível de Fermi.

Passo 6

Probabilidade de o nível do item 1 (ou seja, E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV}) estar desocupado.
  • Probabilidade de desocupado é 1-f(E).
  • A 0\\ \mathrm{K}: do Passo 3 temos f(E)=0, logo
1-f(E)=1-0=1.
  • A 1000\\ \mathrm{K}: do Passo 4 temos f(E)\approx 0{,}359, logo
1-f(E)\approx 1-0{,}359=0{,}641.
  • Interpretação: a 0\\ \mathrm{K} o nível está certamente desocupado; a 1000\\ \mathrm{K} há cerca de 64{,}1\% de chance de ele estar vago.

Resposta

Probabilidade de ocupado para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV}: T=0\\ \mathrm{K}\Rightarrow 0.
Probabilidade de ocupado para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV}: T=1000\\ \mathrm{K}\Rightarrow 0{,}359 (≈ 35{,}9\%).
Energia E com probabilidade de ocupação 92\% a 1000\\ \mathrm{K}: E\approx E_F-0{,}2105\\ \mathrm{eV}.
Probabilidade de desocupado para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV}: T=0\\ \mathrm{K}\Rightarrow 1.
Probabilidade de desocupado para E=E_F+0{,}05\\ \mathrm{eV}: T=1000\\ \mathrm{K}\Rightarrow 0{,}641 (≈ 64{,}1\%).

Exercícios relacionados