( 2,0 pontos) Para o material prata, determine:
- a probabilidade de estar ocupado a OK e a 1000 K o estado
acima do seu nível de Fermi;
- o valor da energia
do nível cuja probabilidade de ocupação é
a 1000 K ;
- a probabilidade de estar desocupado o nível de energia do item 1
Dado: constante de Boltzmann
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o metal prata. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
- Pergunta A: “a probabilidade de estar ocupado a
e a o estado acima do seu nível de Fermi”. Ou seja, queremos para em duas temperaturas: e . - Pergunta B: "o valor da energia
do nível cuja probabilidade de ocupação é a ". Ou seja, achar tal que para . - Pergunta C: “a probabilidade de estar desocupado o nível de energia do item 1”. Isto refere-se ao mesmo nível do item A (ou seja,
); precisamos da probabilidade de não-ocupação, que é . Vou fornecer esses valores nas mesmas temperaturas pedidas no item A.
Dados fornecidos:
Nível considerado no item 1:
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática, tipo “cola” para a prova):
- A distribuição de Fermi–Dirac dá a probabilidade
de um nível de energia estar ocupado por um elétron à temperatura :
Aqui:
-
é a energia do nível que estamos examinando; -
é o nível de Fermi (referência); -
é a constante de Boltzmann (em ); -
é a temperatura em kelvin. -
Comportamento a
: a função degenera em “passo”: - se
então ; - se
então ; - se
então .
Isso é importante: para níveis acima do Fermi aa ocupação é zero.
- se
Vou aplicar essa fórmula passo a passo aos casos pedidos.
Passo 3
Cálculo da probabilidade de ocupação para
a
.
- Observação:
está maior que (é mais ). Pelo comportamento a explicado antes:
Portanto, a probabilidade de o nível estar ocupado a
é
.
Passo 4
Cálculo da probabilidade de ocupação para
a
.
- Primeiro calculo o argumento do exponencial:
- Calculo o denominador do quociente:
- Então
- Agora aplico a fórmula de Fermi–Dirac:
- Aproximando
(cálculo por série ou tabela),
- Interpretação: a probabilidade de ocupação desse nível a
é aproximadamente (ou ).
Passo 5
Encontrar a energia
tal que
a
.
- Começo da fórmula e resolvo para
:
- Invertendo para o exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Multiplico por
(já calculado no Passo 4: ):
- Portanto
- Interpretação física: para ter
de chance de ocupação a , o nível precisa estar cerca de abaixo do nível de Fermi.
Passo 6
Probabilidade de o nível do item 1 (ou seja,
) estar desocupado.
-
Probabilidade de desocupado é
. -
A
: do Passo 3 temos , logo
- A
: do Passo 4 temos , logo
- Interpretação: a
o nível está certamente desocupado; a há cerca de de chance de ele estar vago.
Resposta
Probabilidade de ocupado para
:
Probabilidade de ocupado para :
(≈
).
Energia com probabilidade de ocupação
a
:
Probabilidade de desocupado para :
Probabilidade de desocupado para :
(≈
).
Probabilidade de ocupado para
Energia
Probabilidade de desocupado para
Probabilidade de desocupado para