\left(3,0\right. pontos) A resistividade do Al em 25^{\circ} C é 2.72 \times 10^{-8} \Omega . m. O coeficiente térmico do do Al em 0^{\circ} \mathrm{C} é 4.29 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}. Al tem valência 3 , densidade 2.70 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3}, peso atomico27.
  • Calcular a resistividade do aluminio a -40^{\circ} \mathrm{C}.
  • Calcular o coeficiente térmico a -40^{\circ} C ?
  • Determine o tempo medio entre colisoes e a mobilidade a 25^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede 3 coisas claras:
Dados fornecidos:
\text{resistividade em }25^\circ\text{C: }\rho_{25}=2{,}72\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\text{coeficiente térmico em }0^\circ\text{C: }\alpha_{0}=4{,}29\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}é
\text{valência: }Z=3ê
\text{densidade: }\rho_{\text{massa}}=2{,}70\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}
\text{peso atômico: }A=27\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}ô
Constantes que usaremos (valores numéricos):
N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1},\quad e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Perguntas (o que precisamos calcular):
  1. A resistividade do alumínio a -40^\circ\text{C}.
  2. O coeficiente térmico a -40^\circ\text{C}.
  3. O tempo médio entre colisões \tau e a mobilidade \mu em 25^\circ\text{C}.

Passo 2

Entendendo a dependência com temperatura (fórmula que vamos usar).
A lei linear aproximada para a resistividade é
\rho(T)=\rho(T_0)\bigl[1+\alpha_{T_0}(T-T_0)\bigr],
onde:
  • \rho(T) é a resistividade à temperatura T,
  • \rho(T_0) é a resistividade à temperatura de referência T_0,
  • \alpha_{T_0} é o coeficiente térmico referido a T_0,
  • T e T_0 em graus Celsius ou Kelvin (diferença é a mesma).
Temos \rho_{25} (resistividade em 25^\circ\text{C}) e \alpha_0 (em 0^\circ\text{C}). Para achar \rho em -40^\circ\text{C} podemos:
  1. calcular \rho_0 (resistividade em 0^\circ\text{C}) a partir de \rho_{25}, usando a fórmula com T_0=0^\circ\text{C} e T=25^\circ\text{C};
  2. usar \rho_{-40}=\rho_0\bigl[1+\alpha_0(-40-0)\bigr].
Faço as contas explicitamente.

Passo 3

Cálculo de \rho_0 a partir de \rho_{25}:
\rho_{25}=\rho_{0}\bigl[1+\alpha_{0}(25-0)\bigr]\quad\Rightarrow\quad \rho_{0}=\frac{\rho_{25}}{1+\alpha_{0}\cdot25}.
Substituindo números:
1+\alpha_{0}\cdot25=1+4{,}29\times10^{-3}\cdot25=1+0{,}10725=1{,}10725,
\rho_{0}=\frac{2{,}72\times10^{-8}}{1{,}10725}=2{,}455\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{s.f.}).
Agora \rho_{-40}:
\rho_{-40}=\rho_{0}\bigl[1+\alpha_{0}(-40-0)\bigr]=\rho_{0}\bigl(1-40\alpha_{0}\bigr).
Calculando 1-40\alpha_{0}=1-40\cdot4{,}29\times10^{-3}=1-0{,}1716=0{,}8284.
\rho_{-40}=2{,}455\times10^{-8}\cdot0{,}8284=2{,}04\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{s.f.}).

Passo 4

Cálculo do coeficiente térmico em -40^\circ\text{C}.
Definição útil: \alpha(T) pode ser obtido da relação
\alpha(T)=\frac{\alpha_{T_0}}{1+\alpha_{T_0}(T-T_0)},
que vem de diferenciar a expressão linear e reescrever em termos de uma nova referência. Aqui usamos T_0=0^\circ\text{C} e T=-40^\circ\text{C}:
\alpha_{-40}=\frac{\alpha_0}{1+\alpha_0(-40-0)}=\frac{\alpha_0}{1-40\alpha_0}.
Substituindo números:
1-40\alpha_0=0{,}8284\quad(\text{já calculado}),á
\alpha_{-40}=\frac{4{,}29\times10^{-3}}{0{,}8284}=5{,}18\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{s.f.}).

Passo 5

Agora calculamos a densidade eletrônica n (número de elétrons livres por m³).
Raciocínio: cada átomo fornece Z elétrons livres. O número de átomos por volume é dado por \dfrac{\rho_{\text{massa}}}{M}\,N_A, onde M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
Conversões e cálculos:
\rho_{\text{massa}}=2{,}70\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^{-3}=2700\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3},
M=27\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}=0{,}027\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Mols por metro cúbico:
\frac{\rho_{\text{massa}}}{M}=\frac{2700}{0{,}027}=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
Átomos por metro cúbico:
n_{\text{átomos}}=1{,}00\times10^{5}\cdot6{,}022\times10^{23}=6{,}022\times10^{28}\\ \mathrm{átomos}\cdot\mathrm{m}^{-3}.áá
Como Z=3,
n=Z\cdot n_{\text{átomos}}=3\cdot6{,}022\times10^{28}=1{,}8066\times10^{29}\\ \mathrm{elétrons}\cdot\mathrm{m}^{-3}.áé

Passo 6

Calculando o tempo médio entre colisões \tau (modelo de Drude).
Relação entre resistividade e \tau:
\rho=\frac{m_e}{n e^{2}\tau}\quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{m_e}{n e^{2}\rho}.
Usamos \rho_{25}=2{,}72\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} e os valores de n,e,m_e dados.
Calculemos passo a passo (valores numéricos):
e^{2}=(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}=2{,}56697\times10^{-38}\\ \mathrm{C}^{2},
n e^{2}\rho_{25}=1{,}8066\times10^{29}\cdot2{,}56697\times10^{-38}\cdot2{,}72\times10^{-8}=1{,}2609\times10^{-16}\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}\\ (\text{unidades implícitas}),í
\tau=\frac{9{,}10938356\times10^{-31}}{1{,}2609\times10^{-16}}=7{,}22\times10^{-15}\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{s.f.}).
Explicação curta: \tau é o tempo médio entre colisões que relaciona a mobilidade dos elétrons com a resistividade; é extremamente curto em metais (femtosegundos).

Passo 7

Calculando a mobilidade \mu.
Definição de mobilidade:
\mu=\frac{e\tau}{m_e}.
Substituindo e, \tau e m_e:
\mu=\frac{1{,}602176634\times10^{-19}\cdot7{,}22\times10^{-15}}{9{,}10938356\times10^{-31}}=1{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Se preferir em \mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}: multiplicar por 10^{4} 12{,}7\\ \mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Breve interpretação: mobilidade é a rapidez com que um elétron drifta sob um campo elétrico; em metais é baixa comparada a semicondutores, mas o número muito grande de elétrons gera alta condutividade.

Resposta

\rho_{-40}=2{,}04\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\alpha_{-40}=5{,}18\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}
\tau(25^\circ\mathrm{C})=7{,}22\times10^{-15}\\ \mathrm{s}
\mu(25^\circ\mathrm{C})=1{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}

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