(2,0 pontos) Pelo método da série de potências, encontre a solução da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método da série de potências. Isso significa que vamos supor que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de
. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas da série e substituir tudo na equação para encontrar os coeficientes dos termos.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas da série:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos alinhar os índices para que todas as somas comecem com
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Resolvendo para
:
Passo 7
Precisamos determinar os coeficientes
. Geralmente, são dados dois valores iniciais,
e
. Suponhamos que
e
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Usando a relação de recorrência, calculamos alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é uma série de potências dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.