Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e pede para classificar o ponto
como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações dadas:
- A equação já está na forma padrão
. - As funções coeficientes (visíveis na equação) são as que determinam a classificação no ponto
.
Passo 2
Definições e critérios (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Colocar a equação na forma padrão significa escrevê-la como
onde
e
são funções (podem ser racionais, polinomiais, etc.).
- Ponto ordinário:
é ponto ordinário se tanto quanto são analíticas em , isto é, se existe uma série de Taylor centrada em que converge numa vizinhança de para cada uma delas. - Em linguagem prática: coeficientes sem denominadores que se anulam em
(ex.: polinômios) são analíticos.
- Em linguagem prática: coeficientes sem denominadores que se anulam em
- Ponto singular regular: se pelo menos um dos coeficientes não for analítico em
, mas e são analíticas em . Em outras palavras, pode ter polo de ordem no máximo e polo de ordem no máximo . - Ponto singular irregular: se não é ordinário nem singular regular (isto é, as condições acima falham — os polos são mais fortes).
Passo 3
Identificar
e
no problema:
A equação já está na forma padrão, logo
A equação já está na forma padrão, logo
Passo 4
Verificar analiticidade em
:
-
é um polinômio; todo polinômio é analítico em todo ponto. A série de Taylor centrada em é simplesmente
-
também é um polinômio; é analítico em todo ponto. A série de Taylor centrada em é
Como ambos têm séries de Taylor que convergem numa vizinhança de
, ambos são analíticos em
.
(Opcional — teste pelo critério de singularidade regular:)
- Calcular
, analítico em . - Calcular
, analítico em .
Isso confirma que as quantidades exigidas para um singular regular também seriam analíticas — mas comoe já são analíticos, a classificação é mais forte: ordinário.
Passo 5
Interpretação prática e dica para a prova (tom descontraído):
- Como
e são polinômios, o ponto é um ponto ordinário. Tradução: perto de espera-se soluções expressáveis por séries de potências normais (não é preciso usar o método de Frobenius com expoente indicial complicado). - Para comparar mentalmente: se aparecesse um termo como
em aí sim poderia ser singular regular; se aparecesse em provavelmente seria singular irregular. Aqui não tem dessas tretas — é polinômio, é ordinário.
Resposta
Ponto ordinário.