Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+x^{2} y=0 ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + x\,y' + x^{2}y = 0
e pede para classificar o ponto x_{0}=0 como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações dadas:
  • A equação já está na forma padrão y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.
  • As funções coeficientes (visíveis na equação) são as que determinam a classificação no ponto x_{0}=0.

Passo 2

Definições e critérios (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Colocar a equação na forma padrão significa escrevê-la como
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
onde P(x) e Q(x) são funções (podem ser racionais, polinomiais, etc.).
  • Ponto ordinário: x_{0} é ponto ordinário se tanto P(x) quanto Q(x) são analíticas em x_{0}, isto é, se existe uma série de Taylor centrada em x_{0} que converge numa vizinhança de x_{0} para cada uma delas.
    • Em linguagem prática: coeficientes sem denominadores que se anulam em x_{0} (ex.: polinômios) são analíticos.
  • Ponto singular regular: se pelo menos um dos coeficientes não for analítico em x_{0}, mas (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticas em x_{0}. Em outras palavras, P pode ter polo de ordem no máximo 1 e Q polo de ordem no máximo 2.
  • Ponto singular irregular: se não é ordinário nem singular regular (isto é, as condições acima falham — os polos são mais fortes).

Passo 3

Identificar P(x) e Q(x) no problema:
A equação já está na forma padrão, logo
P(x)=x,\qquad Q(x)=x^{2}.

Passo 4

Verificar analiticidade em x_{0}=0:
  • P(x)=x é um polinômio; todo polinômio é analítico em todo ponto. A série de Taylor centrada em 0 é simplesmente
P(x)=x.
  • Q(x)=x^{2} também é um polinômio; é analítico em todo ponto. A série de Taylor centrada em 0 é
Q(x)=x^{2}.
Como ambos têm séries de Taylor que convergem numa vizinhança de 0, ambos são analíticos em x_{0}=0.
(Opcional — teste pelo critério de singularidade regular:)
  • Calcular (x-0)P(x)=x\cdot x=x^{2}, analítico em 0.
  • Calcular (x-0)^{2}Q(x)=x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}, analítico em 0.
    Isso confirma que as quantidades exigidas para um singular regular também seriam analíticas — mas como P e Q já são analíticos, a classificação é mais forte: ordinário.

Passo 5

Interpretação prática e dica para a prova (tom descontraído):
  • Como P e Q são polinômios, o ponto x_{0}=0 é um ponto ordinário. Tradução: perto de 0 espera-se soluções expressáveis por séries de potências normais (não é preciso usar o método de Frobenius com expoente indicial complicado).
  • Para comparar mentalmente: se aparecesse um termo como \tfrac{1}{x} em P(x) aí sim 0 poderia ser singular regular; se aparecesse \tfrac{1}{x^{3}} em Q(x) provavelmente seria singular irregular. Aqui não tem dessas tretas — é polinômio, é ordinário.

Resposta

Ponto ordinário.