(3 pontos) A partir das equações das leis de Fourier para placa plana, superfícies cilíndricas e esféricas, e da Lei de resfriamento de Newton, deduza a equação da resistência térmica em cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a equação da resistência térmica para três formas diferentes: placa plana, superfícies cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as leis de Fourier aplicadas a cada uma dessas formas e a Lei de Resfriamento de Newton. Vamos precisar entender como o calor flui em cada geometria e como relacionar isso com a resistência térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Fourier, que descreve como o calor se propaga através de um material. Para uma placa plana, a lei é:
Onde:
-
é a taxa de fluxo de calor, -
é a condutividade térmica, -
é a área, -
é o gradiente de temperatura.
A Lei de Resfriamento de Newton nos diz que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor, -
é a diferença de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos definir a Resistência Térmica (
), que é uma medida de quão difícil é para o calor passar através de um material. Ela é dada pela razão entre a diferença de temperatura e a taxa de fluxo de calor:
Nos ajuda a entender quanto “resiste” o material à passagem do calor.
Passo 4
Para uma Placa Plana, combinamos as duas leis. Igualando as expressões para
:
Simplificando, obtemos:
Onde
é a espessura da placa.
Passo 5
Passando para a Superfície Cilíndrica, a área através da qual o calor flui é a área lateral do cilindro:
Onde:
-
é o raio, -
é o comprimento.
Aplicando a mesma lógica das leis anteriores:
Aqui,
e
são os raios interno e externo do cilindro.
Passo 6
Finalmente, para a Superfície Esférica, a área é a área de uma esfera:
Seguindo o mesmo procedimento:
Onde
e
são os raios da esfera interna e externa.
Resposta
As equações da resistência térmica para cada geometria são:
- Placa Plana:
- Superfície Cilíndrica:
- Superfície Esférica: