(3 pontos) A partir das equações das leis de Fourier para placa plana, superfícies cilíndricas e esféricas, e da Lei de resfriamento de Newton, deduza a equação da resistência térmica em cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a equação da resistência térmica para três formas diferentes: placa plana, superfícies cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as leis de Fourier aplicadas a cada uma dessas formas e a Lei de Resfriamento de Newton. Vamos precisar entender como o calor flui em cada geometria e como relacionar isso com a resistência térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Fourier, que descreve como o calor se propaga através de um material. Para uma placa plana, a lei é:
q = -k cdot A cdot dTdx
Onde:
  • q = h cdot A cdot De é a taxa de fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área,
  • é o gradiente de temperatura.
A Lei de Resfriamento de Newton nos diz que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a diferença de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos definir a Resistência Térmica ( Rth = De), que é uma medida de quão difícil é para o calor passar através de um material. Ela é dada pela razão entre a diferença de temperatura e a taxa de fluxo de calor:
Nos ajuda a entender quanto “resiste” o material à passagem do calor.

Passo 4

Para uma Placa Plana, combinamos as duas leis. Igualando as expressões para h cdot A cdot De:
Rthplano = dk cdot A
Simplificando, obtemos:
Onde é a espessura da placa.

Passo 5

Passando para a Superfície Cilíndrica, a área através da qual o calor flui é a área lateral do cilindro:
A = 2 pi r L
Onde:
  • Rthcilindro = ln(r2/r1)2 pi k L é o raio,
  • é o comprimento.
Aplicando a mesma lógica das leis anteriores:
Aqui, e são os raios interno e externo do cilindro.

Passo 6

Finalmente, para a Superfície Esférica, a área é a área de uma esfera:
A = 4 pi r^2
Seguindo o mesmo procedimento:
Rthesfera = 14 pi k ( 1r1 - 1r2 )
Onde e são os raios da esfera interna e externa.

Resposta

As equações da resistência térmica para cada geometria são:
  1. Placa Plana:
Rthplano = dk cdot A
  1. Superfície Cilíndrica:
Rthcilindro = ln(r2/r1)2 pi k L
  1. Superfície Esférica:
Rthesfera = 14 pi k ( 1r1 - 1r2 )

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