1. (2,0 pontos) Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema de equações:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=6 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=21 \\\ x_{1}+4 x_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=6,\\\\ 4x_{1}-3x_{2}+x_{3}=21,\\\ x_{1}+4x_{3}=3 \end{cases}
e pede para usar a regra de Cramer. Vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante principal D e depois os determinantes D_{1},D_{2},D_{3} obtidos substituindo, em cada caso, a coluna correspondente pelos termos independentes.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & -3 & 1\\\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e seu determinante D vale
D =2\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 0 & 4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} +0 =2\cdot(-3\cdot4-1\cdot0)+1\cdot(4\cdot4-1\cdot1) =-24+15=-9.

Passo 3

Para x_{1} substituímos a primeira coluna por \bigl(6,21,3\bigr):
A_{1}=\begin{pmatrix} 6 & -1 & 0\\\\ 21 & -3 & 1\\\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \qquad D_{1} =6\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 0 & 4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}21 & 1\\\ 3 & 4\end{pmatrix} =6\cdot(-12)+1\cdot(84-3) =-72+81=9.

Passo 4

Para x_{2} substituímos a segunda coluna por \bigl(6,21,3\bigr):
A_{2}=\begin{pmatrix} 2 & 6 & 0\\\\ 4 & 21 & 1\\\\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad D_{2} =2\cdot\det\begin{pmatrix}21 & 1\\\ 3 & 4\end{pmatrix} -6\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot81-6\cdot15 =162-90=72.

Passo 5

Para x_{3} substituímos a terceira coluna por \bigl(6,21,3\bigr):
A_{3}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 6\\\\ 4 & -3 & 21\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
D_{3} =2\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 21\\\ 0 & 3\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 21\\\ 1 & 3\end{pmatrix} +6\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -3\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =2\cdot(-9)+1\cdot(-9)+6\cdot3 =-18-9+18=-9.

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{9}{-9}=-1,\quad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{72}{-9}=-8,\quad x_{3}=\frac{D_{3}}{D}=\frac{-9}{-9}=1.

Resposta

x_{1}=-1,\;x_{2}=-8,\;x_{3}=1.

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