(4,0 pontos) Use a série de Maclaurin da Tabela para obter a série de Maclaurin da função e encontre o raio de convergência da série:
[5] f(x) = x(e^x + e^(2x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar a série de Maclaurin do exponencial e entender como manipular séries. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série de Maclaurin. Temos:
Isso significa que vamos trabalhar com as séries de e .

Passo 3

A série de Maclaurin para é bem conhecida e dada por:
Analogamente, a série de Maclaurin para é:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada uma dessas séries por , conforme a função :

Passo 5

Agora, somamos as duas séries obtidas:
Podemos ajustar o índice de soma para facilitar a leitura, substituindo por :

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, .

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