(4,0 pontos) Use a série de Maclaurin da Tabela para obter a série de Maclaurin da função e encontre o raio de convergência da série:
[5]
[5]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar a série de Maclaurin do exponencial e entender como manipular séries. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da série de Maclaurin. Temos:
Isso significa que vamos trabalhar com as séries de
e
.
Passo 3
A série de Maclaurin para
é bem conhecida e dada por:
Analogamente, a série de Maclaurin para
é:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada uma dessas séries por
, conforme a função
:
Passo 5
Agora, somamos as duas séries obtidas:
Podemos ajustar o índice de soma para facilitar a leitura, substituindo
por
:
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja,
.