Para uma população finita de 300 elementos, o desvio padrão é 40 unidades. Deseja-se estimar a média com erro máximo de 8 unidades e confiança de
. Pergunta: Qual o tamanho da amostra necessária?
Conforme conteúdo teórico disponível nos slides.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estimar a média de uma população finita de 300 elementos, onde o desvio padrão é 40 unidades. A gente quer que a nossa estimativa tenha um erro máximo de 8 unidades e um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos calcular o tamanho necessário da amostra. Vamos precisar usar conceitos de estimação de média e tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o nível de confiança. Um nível de confiança de 95% corresponde a um valor crítico $ Z $ que podemos encontrar na tabela da distribuição normal. Para 95%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 1,96.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra quando a população é finita. A fórmula geral para o tamanho da amostra $ n $ é:
Onde:
- $ Z $ é o valor crítico (1,96 para 95% de confiança),
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população (40 unidades),
- $ e $ é o erro máximo tolerado (8 unidades).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando:
Então, sem considerar que a população é finita, precisaríamos de aproximadamente 96 elementos na amostra.
Passo 5
Como a população é finita ($ N = 300 $), precisamos aplicar a Correção para População Finita (CPF). A fórmula ajustada fica assim:
Substituindo os valores:
Resposta
Portanto, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 73 elementos.