Para uma população finita de 300 elementos, o desvio padrão é 40 unidades. Deseja-se estimar a média com erro máximo de 8 unidades e confiança de 95 %. Pergunta: Qual o tamanho da amostra necessária?
Conforme conteúdo teórico disponível nos slides.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estimar a média de uma população finita de 300 elementos, onde o desvio padrão é 40 unidades. A gente quer que a nossa estimativa tenha um erro máximo de 8 unidades e um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos calcular o tamanho necessário da amostra. Vamos precisar usar conceitos de estimação de média e tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o nível de confiança. Um nível de confiança de 95% corresponde a um valor crítico $ Z $ que podemos encontrar na tabela da distribuição normal. Para 95%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 1,96.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra quando a população é finita. A fórmula geral para o tamanho da amostra $ n $ é:
n
Onde:
  • $ Z $ é o valor crítico (1,96 para 95% de confiança),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população (40 unidades),
  • $ e $ é o erro máximo tolerado (8 unidades).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
n = (1,96)^2 times (40)^2(8)^2
Calculando:
n = 3,8416 times 160064 = 6146,5664 approx 96,04
Então, sem considerar que a população é finita, precisaríamos de aproximadamente 96 elementos na amostra.

Passo 5

Como a população é finita ($ N = 300 $), precisamos aplicar a Correção para População Finita (CPF). A fórmula ajustada fica assim:
N = 300
Substituindo os valores:
najustado = n1 + ( n - 1N )

Resposta

Portanto, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 73 elementos.

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