É possível definir uma economia média para um sistema de 4 efeitos. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível definir uma “economia média” para um sistema de 4 efeitos e pede uma justificativa.
Informações dadas explicitamente:
  • O sistema tem 4 efeitos (quatro estágios de evaporação).
    Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos entender e definir claramente o que é “economia” em evaporadores (aulas rápidas, sem pular passos).
  • A economia, em termos de evaporadores, é a razão entre a massa de solvente (normalmente água) evaporada pelo sistema e a massa de vapor-úmido de alimentação (vapor fresco) consumida.
  • Em símbolos, se a massa de vapor fresco fornecida por unidade de tempo é \dot m_s e a massa total de água evaporada por unidade de tempo pelo conjunto de efeitos é \dot M, então a economia global (média do sistema) define-se naturalmente por
\bar E=\dfrac{\dot M}{\dot m_s}.
  • Essa é uma definição operacional: quantos kg de água evaporam-se por cada kg de vapor fresco usado.

Passo 3

Agora vamos modelar o sistema de 4 efeitos por balanços de energia elementares e mostrar como se calcula \bar E. Vou usar uma notação didática e explicar cada símbolo.
  • \dot m_s: vazão de massa de vapor fresco (kg/s) que entra condensando no primeiro efeito.
  • Para cada efeito k=1,2,3,4: \dot m_k = vazão de vapor gerado no efeito k (kg/s). Esse vapor sai do efeito k e é usado como agente aquecedor do efeito k+1 (exceto o k=4, cujo vapor é geralmente retirado).
  • \lambda_0: calor latente do vapor fresco que condensa (no efeito 1).
  • \lambda_k: calor latente do vapor produzido no efeito k (evaporação à pressão do efeito k).
  • \dot Q_k: perdas de calor no efeito k (condução para o ambiente, não condensáveis, desalinhamentos etc.). Vou explicitar quando assumimos \dot Q_k=0.
Regra de ouro do balanço de energia (no regime estacionário, desprezando capacidade térmica dos equipamentos): o calor cedido pelo fluido que condensa no efeito é usado para evaporar massa de água naquele efeito mais as perdas. Aplicando isso efeito a efeito:
  • Efeito 1 (vapor fresco condensa e evapora água \dot m_1):
\dot m_s\,\lambda_0 = \dot m_1\,\lambda_1 + \dot Q_1.
  • Efeito 2 (vapor \dot m_1 condensa e evapora \dot m_2):
\dot m_1\,\lambda_1 = \dot m_2\,\lambda_2 + \dot Q_2.
  • Efeito 3:
\dot m_2\,\lambda_2 = \dot m_3\,\lambda_3 + \dot Q_3.
  • Efeito 4:
\dot m_3\,\lambda_3 = \dot m_4\,\lambda_4 + \dot Q_4.

Passo 4

Somando as quatro equações de energia (lado a lado) obtemos:
\dot m_s\,\lambda_0 = \dot m_4\,\lambda_4 + (\dot Q_1+\dot Q_2+\dot Q_3+\dot Q_4).
Mas atenção: a massa total evaporada pelo sistema é a soma das vazões evaporadas em cada efeito:
\dot M = \dot m_1+\dot m_2+\dot m_3+\dot m_4.
Queremos \bar E=\dfrac{\dot M}{\dot m_s}. Para relacionar \dot M com \dot m_s é conveniente eliminar progressivamente as \dot m_k a partir dos balanços. Se assumirmos (caso ideal didático) que as perdas são desprezíveis, isto é \dot Q_k=0 para todo k, então cada equação vira
\dot m_{k-1}\,\lambda_{k-1} = \dot m_k\,\lambda_k,
onde escrevemos \dot m_0\equiv\dot m_s e \lambda_0 para o vapor fresco. Assim, isolando,
\dot m_k = \dot m_s\,\dfrac{\lambda_0}{\lambda_k}\quad\text{para }k=1,2,3,4.

Passo 5

Usando a expressão do passo anterior, a massa total evaporada no caso ideal (sem perdas) é
\dot M = \sum_{k=1}^{4}\dot m_k = \dot m_s\,\lambda_0\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{\lambda_k}.
Dividindo por \dot m_s obtemos a economia média (global) do sistema de 4 efeitos, no caso ideal:
\bar E = \lambda_0\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{\lambda_k}.
Esta é uma expressão explícita e útil: ela mostra que a economia depende dos calores latentes nos diferentes efeitos e do calor latente do vapor de alimentação.

Passo 6

Interpretação e casos particulares (isso ajuda a usar na prova).
  • Caso simplificado muito comum: quando os calores latentes são aproximadamente iguais ( \lambda_0\approx\lambda_1\approx\lambda_2\approx\lambda_3\approx\lambda_4=\lambda), a expressão se reduz a
\bar E \approx \lambda\cdot\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{\lambda}=4.
Ou seja, no caso ideal e com \lambda praticamente constante, cada kg de vapor fresco pode evaporar aproximadamente 4 kg de água: a economia ideal iguala-se ao número de efeitos. Por isso muitas vezes em sala se diz que o “máximo teórico” para n efeitos é n.
  • Na prática, entretanto, os \lambda_k não são exatamente iguais (variam com pressão/temperatura), há perda de calor \dot Q_k>0, há não condensáveis, há refluxos, sangrias de vapor etc. Tudo isso reduz \bar E em relação ao ideal. Portanto a fórmula geral (com \dot Q_k incluídas) deve ser usada se houver dados de perdas.

Passo 7

Conclusão didática e resposta curta de prova (o que escrever para garantir pontos):
  • Sim, é possível e natural definir uma economia média para um sistema de 4 efeitos: ela é a razão entre a massa total evaporada nos quatro efeitos e a massa de vapor fresco alimentada, \bar E=\dfrac{\dot M}{\dot m_s}.
  • Em termos energéticos, sob hipótese ideal (sem perdas) obtem-se a fórmula útil
\bar E=\lambda_0\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{\lambda_k},
que para \lambda_0\approx\lambda_k dá o resultado intuitivo \bar E\approx 4.
  • Justificativa: esta definição segue diretamente de balanços de energia efeito a efeito (mostrados acima) e traduz o aproveitamento sucessivo do calor latente do vapor através dos 4 efeitos.

Resposta

Sim. A economia média do sistema de 4 efeitos pode ser definida por \displaystyle \bar E=\dfrac{\dot M}{\dot m_s}, onde \dot M=\dot m_1+\dot m_2+\dot m_3+\dot m_4 é a massa total evaporada e \dot m_s é a massa de vapor fresco. Para o caso ideal (sem perdas) vale também \displaystyle \bar E=\lambda_0\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{\lambda_k}, que para \lambda_0\approx\lambda_k se reduz a \bar E\approx 4.

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