É possível encontrar W \subset \mathbf{P}_{\infty}(R) Tal que [W]=\mathbf{P}_{\infty}(R) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um subconjunto W\subset \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}) tal que [W]=\mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}). As informações relevantes que temos:
  • \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais (ou seja, polinômios de grau finito arbitrário).
  • [W] denota o espaço linear gerado por W, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de W.
    O que nos pedem: encontrar (ou mostrar que existe) um W cujo espaço gerado seja todo \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}).

Passo 2

Vou explicar claramente o que significa “espaço gerado” e “combinação linear”, porque isso vai aparecer em toda a solução:
  • Uma combinação linear finita de elementos p_1,p_2,\dots,p_m de W é uma expressão \alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2+\dots+\alpha_m p_m com coeficientes \alpha_i\in\mathbb{R}.
  • O espaço gerado [W] é o conjunto de todas essas combinações lineares finitas. Em símbolos: [W]=\{ \sum_{i=1}^m \alpha_i p_i \mid m\in\mathbb{N},\\ p_i\in W,\\ \alpha_i\in\mathbb{R}\}.
    Intuitivamente: para que [W]=\mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}) é necessário que todo polinômio p(x) possa ser escrito como combinação linear finita de elementos de W.

Passo 3

Um candidato natural e simples para W é o conjunto das monômios:
W=\{1,x,x^2,x^3,\dots\}.
Agora vou mostrar que esse W realmente gera todo \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}).

Passo 4

Prova de que [W]=\mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}) com W=\{1,x,x^2,\dots\}.
  • Tome um polinômio arbitrário p(x)\in\mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}). Por definição existe um inteiro n\ge 0 e coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R} tais que
p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\dots+a_n x^n.
  • Mas essa expressão é exatamente uma combinação linear finita dos elementos de W (os monômios 1,x,\dots,x^n). Logo p(x)\in [W].
  • Como p foi arbitrário, todo polinômio pertence a [W]. Portanto [W]=\mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}).

Passo 5

Para reforçar o entendimento: os monômios formam não só um gerador, mas uma base (ou seja, são linearmente independentes). Vou dar uma prova curta de independência linear (útil para provas na prova):
  • Suponha que exista uma combinação linear finita que dá o polinômio nulo:
\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\dots+\alpha_n x^n\equiv 0\quad\text{(polinômio identicamente nulo)}.ô
  • Avaliando em x=0 obtemos \alpha_0=0.
  • Derivando e avaliando em x=0: a primeira derivada avaliada em 0 \alpha_1=0.
  • Repetindo (k\!)-ésima derivada e avaliando em 0 obtém-se \alpha_k=0 para cada k. Assim todos os coeficientes são zero, logo a combinação era trivial.
  • Portanto os monômios são linearmente independentes; assim formam uma base (contável) de \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}).

Passo 6

Uma observação importante (muito útil na prova): não existe um conjunto gerador finito de \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}).
  • Se W fosse finito, todos os polinômios em W teriam grau no máximo igual a algum d. Qualquer combinação linear finita desses polinômios teria grau \le d. Logo [W] conteria apenas polinômios de grau \le d e não conseguiria produzir polinômios de grau maior que d. Contradição com a ideia de gerar todo \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}), que contém polinômios de todos os graus.
  • Conclusão: qualquer gerador de \mathbf{P}_{\infty}(\mathbb{R}) precisa ser infinito; os monômios fornecem um gerador (e uma base) contável.

Passo 7

Resumo final e dica para a prova (tomando na boa): um jeito direto e seguro é sempre lembrar dos monômios \{1,x,x^2,\dots\}. Mostrar que geram é trivial (todo polinômio é combinação linear finita deles). Mostrar que não existe gerador finito é um argumento por grau. Se pedirem base, é só mostrar independência linear (usando avaliação e derivadas ou igualdade de coeficientes).

Resposta

Sim: W=\{1,x,x^2,\dots\}.