É possível encontrar
Tal que
?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um subconjunto
tal que
. As informações relevantes que temos:
-
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais (ou seja, polinômios de grau finito arbitrário). -
denota o espaço linear gerado por , isto é, o conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de .
O que nos pedem: encontrar (ou mostrar que existe) umcujo espaço gerado seja todo .
Passo 2
Vou explicar claramente o que significa “espaço gerado” e “combinação linear”, porque isso vai aparecer em toda a solução:
- Uma combinação linear finita de elementos
de é uma expressão com coeficientes . - O espaço gerado
é o conjunto de todas essas combinações lineares finitas. Em símbolos:
Intuitivamente: para queé necessário que todo polinômio possa ser escrito como combinação linear finita de elementos de .
Passo 3
Um candidato natural e simples para
é o conjunto das monômios:
Agora vou mostrar que esse
realmente gera todo
.
Passo 4
Prova de que
com
.
- Tome um polinômio arbitrário
. Por definição existe um inteiro e coeficientes tais que
- Mas essa expressão é exatamente uma combinação linear finita dos elementos de
(os monômios ). Logo . - Como
foi arbitrário, todo polinômio pertence a . Portanto .
Passo 5
Para reforçar o entendimento: os monômios formam não só um gerador, mas uma base (ou seja, são linearmente independentes). Vou dar uma prova curta de independência linear (útil para provas na prova):
- Suponha que exista uma combinação linear finita que dá o polinômio nulo:
- Avaliando em
obtemos . - Derivando e avaliando em
: a primeira derivada avaliada em dá . - Repetindo
-ésima derivada e avaliando em obtém-se para cada . Assim todos os coeficientes são zero, logo a combinação era trivial. - Portanto os monômios são linearmente independentes; assim formam uma base (contável) de
.
Passo 6
Uma observação importante (muito útil na prova): não existe um conjunto gerador finito de
.
- Se
fosse finito, todos os polinômios em teriam grau no máximo igual a algum . Qualquer combinação linear finita desses polinômios teria grau . Logo conteria apenas polinômios de grau e não conseguiria produzir polinômios de grau maior que . Contradição com a ideia de gerar todo , que contém polinômios de todos os graus. - Conclusão: qualquer gerador de
precisa ser infinito; os monômios fornecem um gerador (e uma base) contável.
Passo 7
Resumo final e dica para a prova (tomando na boa): um jeito direto e seguro é sempre lembrar dos monômios
. Mostrar que geram é trivial (todo polinômio é combinação linear finita deles). Mostrar que não existe gerador finito é um argumento por grau. Se pedirem base, é só mostrar independência linear (usando avaliação e derivadas ou igualdade de coeficientes).
Resposta
Sim:
.