É possível escrever a função horária do oscilador harmônico como uma soma de seno e de cosseno sem figurar constante de fase. Prove que
x(t)=A cos (omega t+phi)=x(0) cos omega t+v(0)omega sin omega t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função posição do oscilador harmônico, que geralmente está escrita com um cosseno com fase, pode ser reescrita como uma combinação de cosseno e seno sem usar a fase. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e movimentos harmônicos. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas que relacionam senos e cossenos com diferentes fases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expressão geral da posição em um movimento harmônico:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular, e é a fase inicial. Nossa meta é reescrever essa expressão sem a fase .

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica do cosseno da soma de dois ângulos:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
Aplicando isso na expressão de x(t) = A [cos(omega t) cos phi - sin(omega t) sin phi] :

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos:
x(t) = A cos phi cdot cos(omega t) - A sin phi cdot sin(omega t)
Aqui, podemos identificar que o termo corresponde a , que é a posição inicial, e o termo está relacionado à velocidade inicial .

Passo 5

Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então:
v(t) = dx(t)dt = -A omega sin(omega t + phi)
No instante v(0) = -A omega sin(phi) :
A sin phi = -v(0)omega
Isolando :

Passo 6

Substituindo x(t) = x(0) cos(omega t) + v(0)omega sin(omega t) por e por na expressão de :

Resposta

Foi provado que
x(t) = A cos (omega t + phi) = x(0) cos omega t + v(0)omega sin omega t

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