É possível escrever a função horária do oscilador harmônico como uma soma de seno e de cosseno sem figurar constante de fase. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função posição do oscilador harmônico, que geralmente está escrita com um cosseno com fase, pode ser reescrita como uma combinação de cosseno e seno sem usar a fase. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e movimentos harmônicos. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas que relacionam senos e cossenos com diferentes fases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expressão geral da posição em um movimento harmônico:
Aqui,
é a amplitude,
é a frequência angular, e
é a fase inicial. Nossa meta é reescrever essa expressão sem a fase
.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica do cosseno da soma de dois ângulos:
Aplicando isso na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos:
Aqui, podemos identificar que o termo
corresponde a
, que é a posição inicial, e o termo
está relacionado à velocidade inicial
.
Passo 5
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então:
No instante
:
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
por
e
por
na expressão de
:
Resposta
Foi provado que