Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta.
Um conjunto L.I. de três vetores do $\mathbb{R}^{3}$ que não geram $o \mathbb{R}^{3}$ .

O enunciado pede um conjunto de três vetores em

\mathbb{R}^{3}

que seja linearmente independente (L.I.) mas que não gere

\mathbb{R}^{3}

. O conteúdo aqui é teoria de bases e dimensão em espaços vetoriais, e vamos precisar usar o resultado sobre dimensão de

\mathbb{R}^{3}

Em um espaço vetorial de dimensão

n

, qualquer conjunto de

n

vetores linearmente independentes forma uma base e, portanto, gera o espaço todo. No caso de

\mathbb{R}^{3}

, temos

\dim(\mathbb{R}^{3})=3

. Logo, se existem três vetores L.I. em

\mathbb{R}^{3}

, eles necessariamente formam uma base de

\mathbb{R}^{3}

É impossível ter três vetores L.I. em

\mathbb{R}^{3}

que não gerem

\mathbb{R}^{3}

, pois todo conjunto de três vetores linearmente independentes em

\mathbb{R}^{3}

gera o espaço.

Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta. Um conjunto L.I. de três vetores do \mathbb{R}^{3} que não geram o \mathbb{R}^{3}.