Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta.
Um conjunto L.D. de três vetores de $M_{2}(\mathbb{R})$ .

O enunciado pede um conjunto de três vetores (i.e., matrizes) em

M_{2}(\mathbb{R})

que seja linearmente dependente. Lembrando que um conjunto

\{A,B,C\}

é linearmente dependente se existem escalares

\alpha,\beta,\gamma

, não todos zero, tais que

\alpha A + \beta B + \gamma C = 0_{2\times2}.

Como

\dim M_{2}(\mathbb{R})=4

, é perfeitamente possível escolher 3 matrizes dependentes.

Vamos tomar como matrizes de exemplos

A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad C = A + B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.

]

Verificamos uma combinação linear não trivial que anula essas matrizes. Tomemos

\alpha=1

\beta=1

\gamma=-1

. Então

1\cdot A \;+\;1\cdot B \;+\;(-1)\cdot C =\;A + B - (A+B) =\;0_{2\times2}.

Como nem todos os coeficientes são zero, isso prova a dependência linear.

Concluímos que o conjunto

\{A,B,C\}

é linearmente dependente em

M_{2}(\mathbb{R})

Um exemplo é

A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},

pois

A + B - C = 0_{2\times2}

Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta. Um conjunto L.D. de três vetores de M_{2}(\mathbb{R}).