Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta.
Dois subespaços $U$ e $W$ de $\mathbb{R}^{5}$ tais que $\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} W=3$ e $U \oplus W$ .

O enunciado pede dois subespaços

U

W

\mathbb{R}^{5}

tais que

\dim(U)=\dim(W)=3

U\oplus W

. O conteúdo envolvido é a definição de soma direta de subespaços e o teorema da dimensão para soma e interseção.

Recordando a definição,

U\oplus W

significa que

U+W

é a soma direta, ou seja,

U\cap W=\{0\}.

Pela fórmula da dimensão de

U+W

, vale

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).

Como

\dim(U)=\dim(W)=3

e para soma direta

\dim(U\cap W)=0

, teríamos

\dim(U+W)=3+3-0=6.

Isso é impossível dentro de

\mathbb{R}^5

, pois qualquer subespaço de

\mathbb{R}^5

tem dimensão no máximo

5

. Logo não pode existir subespaço de dimensão

6

Não é possível. Como

\dim(U)+\dim(W)=6>5=\dim(\mathbb{R}^5)

, não há como ter

U\cap W=\{0\}

e, portanto, não existe

U\oplus W

com

\dim(U)=\dim(W)=3

\mathbb{R}^5

Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta. Dois subespaços U e W de \mathbb{R}^{5} tais que \operatorname{dim} U=\operatorname{dim} W=3 e U \oplus W.