É possível relacionar a força eletrostática entre os íons com a Lei da Gravidade de Newton? Se sim, demonstre como as duas expressões se relacionam.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível relacionar a força eletrostática entre íons com a Lei da Gravidade de Newton e, em caso afirmativo, pede uma demonstração de como as duas expressões se relacionam.
Informações relevantes fornecidas (implícitas na pergunta):
  • Queremos comparar a força eletrostática entre duas cargas (íons) com a força gravitacional entre duas massas.
  • Devemos escrever as fórmulas, mostrar as semelhanças e diferenças, e obter uma relação prática entre as duas forças (por exemplo uma razão entre elas).
    Não há números fixos no enunciado; usarei símbolos gerais q_1,q_2 para cargas e m_1,m_2 para massas e, depois, farei um exemplo numérico com íons carregados unitariamente (carga elementar) para ilustrar.

Passo 2

Escrevo a Lei de Coulomb (força eletrostática) na forma vetorial e explico cada termo. A forma vetorial é
\mathbf{F}_\text{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},
onde:
  • \mathbf{F}_\text{e} é a força exercida sobre a carga 1 por 2 (vetor);
  • q_1,q_2 são as cargas elétricas (em coulombs);
  • r é a distância entre as cargas (magnitude do vetor posição relativo);
  • \hat{r} é o versor que aponta de uma carga para a outra (mostra direção e sentido);
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo; \varepsilon_0\approx 8,8541878128\times10^{-12}\,\mathrm{F/m};
  • o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é o chamado constante de Coulomb k, frequentemente escrito k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8,9875517923\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.
    Observação sobre o sinal: q_1 q_2 pode ser positivo (força repulsiva) ou negativo (força atrativa).

Passo 3

Escrevo a Lei da Gravitação Universal de Newton também em forma vetorial e explico seus termos:
\mathbf{F}_\text{g} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat{r},
onde:
  • \mathbf{F}_\text{g} é a força gravitacional exercida sobre a massa 1 por 2 (vetor);
  • m_1,m_2 são as massas (kg);
  • r é a distância entre as massas;
  • \hat{r} é o versor do mesmo modo (aponta de uma massa para a outra);
  • G é a constante gravitacional universal, G\approx 6,67430\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
    O sinal negativo indica que a força é sempre atrativa (as massas sempre se atraem).

Passo 4

Comparação estrutural (conceito): ambas as leis têm forma proporcional ao produto das “grandezas sources” dividido por r^2. Em termos de magnitude (valores absolutos) temos:
F_\text{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2}, \qquad F_\text{g} = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}.
Observações importantes:
  • Ambas obedecem à lei do inverso do quadrado ( \propto 1/r^2).
  • A diferença crucial é que a força elétrica pode ser atrativa ou repulsiva (sinal de q_1 q_2), enquanto a gravitacional é sempre atrativa (masse positivas).
  • As constantes multiplicativas são muito diferentes em escala e natureza: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} vs G.

Passo 5

Para relacioná-las algebricamente, divido as magnitudes das forças para obter a razão (isso elimina a dependência em r porque ambas têm 1/r^2):
\frac{F_\text{e}}{F_\text{g}} = \frac{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}}{G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1 q_2|}{G\,m_1 m_2}.
Portanto a razão das intensidades é
\boxed{\displaystyle \frac{F_\text{e}}{F_\text{g}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1 q_2|}{G\,m_1 m_2}.}
Isso é a relação direta entre as duas expressões: ambas têm o mesmo fator geométrico 1/r^2, e a diferença quantitativa aparece apenas nos produtos q_1 q_2 versus m_1 m_2 e nas constantes físicas.

Passo 6

Interpretação da fórmula da razão:
  • A razão é independente de r (a menos que haja efeitos do meio, veja passo 8).
  • Quando \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q_1 q_2|}{G m_1 m_2}\gg1, a força elétrica domina; quando \ll1, a gravidade domina. Na escala atômica normalmente a força eletrostática é muito maior.

Passo 7

Exemplo numérico concreto (dois íons com carga unitária: cargas iguais à carga elementar e; exemplo: dois prótons, cada um com q=+e e massa m=m_p). Valores usados (padrão SI):
e=1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C},\quad m_p=1,67262192369\times10^{-27}\,\mathrm{kg},
\varepsilon_0=8,8541878128\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},\quad G=6,67430\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
Calculo passo a passo da razão para q_1=q_2=e e m_1=m_2=m_p:
calculo de k e^2 com k=1/(4\pi\varepsilon_0):
k e^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,e^2 \approx 8,9875517923\times10^{9}\times(1,602176634\times10^{-19})^2.
Primeiro e^2 \approx 2,5669699\times10^{-38}. Então
k e^2 \approx 8,9875517923\times10^{9}\times 2,5669699\times10^{-38} \approx 2,3076\times10^{-28}\,(\mathrm{N\,m^2}).
Agora G m_p^2:
m_p^2 \approx 2,7970\times10^{-54},\qquad G m_p^2 \approx 6,67430\times10^{-11}\times 2,7970\times10^{-54} \approx 1,8655\times10^{-64}.
Finalmente a razão:
\frac{F_\text{e}}{F_\text{g}} \approx \frac{2,3076\times10^{-28}}{1,8655\times10^{-64}} \approx 1,236\times10^{36}.
Arredondando,
\frac{F_\text{e}}{F_\text{g}}\approx 1,2\times10^{36}
para dois prótons separados por qualquer distância (a razão é independente de r). Conclusão prática: a força eletrostática entre partículas carregadas é enormemente maior que a força gravitacional entre as mesmas partículas.

Passo 8

Observações finais e limitações práticas:
  • Em meios materiais a força elétrica é reduzida pelo fator de permissividade relativa \varepsilon_r. Em um meio homogêneo a constante de Coulomb vira k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}, e a razão acima deve incluir \varepsilon_r no denominador do fator elétrico, diminuindo a força elétrica. Em soluções iônicas reais existem também efeitos de blindagem (p.ex. comprimento de Debye) que tornam a interação elétrica de longo alcance mais complexa.
  • A analogia formal (produto/por r^2) é perfeita; fisicamente os fenômenos são diferentes: a gravidade sempre atrai e surge de massa/energia, a eletrostática pode atrair ou repelir e depende de cargas positivas/negativas.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_\text{e}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r} e \displaystyle \mathbf{F}_\text{g}=-G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r}.\n \displaystyle \frac{F_\text{e}}{F_\text{g}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1 q_2|}{G\,m_1 m_2}. Para dois prótons com q_1=q_2=e e m_1=m_2=m_p, \displaystyle \frac{F_\text{e}}{F_\text{g}}\approx 1,2\times10^{36}.

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