A potência total fornecida a uma carga trifásica, equilibrada, quando está funcionando a uma tensão de linha de 6600 \sqrt{ } 3 \mathrm{~V}, é 1188 kW com fator de potência atrasado de 0,6 . A impedância da linha de distribuição que alimenta a carga é de 0,5+\mathrm{j} 4 \Omega por fase. Sob essas condições de funcionamento, a queda do módulo da tensão de linha entre o início e o final da linha (terminal a carga) é excessiva. Para compensar, um banco de capacitores ligados em \Delta é inserido em paralelo com a carga. O banco de capacitores é projetado para fornecer 1920 kVAr quando alimentado por uma tensão de linha de 6600 \sqrt{ } 3 \mathrm{~V}.
a) Desenhe o circuito equivalente monofásico para a condição de carga com o banco de capacitores desligado.
b) Calcule a corrente de linha para a condição do item (a).
c) Calcule a tensão fase-neutro no início da linha para a condição do item (a).
d) Calcule o módulo da tensão de linha no início da linha para a condição do item (a).
e) Recalcule o módulo da tensão de linha no início da linha quando os banco de capacitores estiver ligado.
f) Se o sistema opera em 60 Hz , qual a capacitância dos capacitores do banco instalado?

Passo 1

O enunciado descreve uma carga trifásica equilibrada, com tensão de linha V_{LL}=6600\sqrt{3}\,\mathrm V, potência ativa total P=1188\,\mathrm{kW} e fator de potência atrasado \mathrm{pf}=0,6. A impedância de linha por fase é
Z_{\ell}=0,5 + j4\;\Omega.
Sem o banco de capacitores, a carga consome P e Q dado por
Q = P\tan\varphi,\quad \cos\varphi=0,6\implies \varphi=\operatorname{arccos}(0,6)=53{,}13^\circ.
Vamos ao circuito monofásico equivalente, calcular a corrente de linha, o envio da tensão fase-neutro no início da linha e, em seguida, a tensão de linha. Depois faremos o caso com o banco de capacitores e, por fim, a capacitância necessária.

Passo 2

Circuito monofásico equivalente (sem banco de capacitores):
— Fonte de tensão de fase V_1 (início da linha)
— Impedância de linha Z_{\ell}=0,5+j4\;\Omega
— Impedância da carga Z_C no final da linha, alimentada por V_2.
O diagrama é:
V_1 \;-\; Z_{\ell} \;-\; Z_C \;\longrightarrow\; V_2
onde V_2 é a tensão fase–neutro na carga (assumida 6600 V de módulo e referência de fase).

Passo 3

Cálculo da corrente de linha I.
Potência aparente total
S = \frac{P}{\mathrm{pf}} = \frac{1188}{0,6} = 1980\;\mathrm{kVA}.
Por fase:
S_{\varphi} = \frac{S}{3} = 660\;\mathrm{kVA},\quad V_{\varphi}=V_{LL}/\sqrt{3}=6600\;\mathrm V.
Logo a corrente de fase (linha) é
I = \frac{S_{\varphi}}{V_{\varphi}} = \frac{660\times10^3}{6600} = 100\;\mathrm A,
com defasagem de -\varphi:
I = 100\angle -53{,}13^\circ\;\mathrm A.

Passo 4

Cálculo de Z_C da carga:
Z_C = \frac{V_{\varphi}}{I} = \frac{6600\angle0^\circ}{100\angle -53{,}13^\circ} =66\angle +53{,}13^\circ =39{,}6 + j52{,}8\;\Omega.

Passo 5

Tensão de fase no início da linha V_1:
V_1 = V_2 + Z_{\ell}\,I.
Temos V_2=6600\angle0^\circ V e
Z_{\ell}I=(0,5+j4)\,(100\angle -53{,}13^\circ) =350 + j200\;\mathrm V \quad(\text{aprox. }403\angle29{,}74^\circ).
Logo
V_1 = (6600 + 350) + j(0+200) =6950 + j200\;\mathrm V,
|V_1| = \sqrt{6950^2+200^2}\approx6950{,}3\;\mathrm V, \quad\angle V_1\approx1{,}65^\circ.

Passo 6

Tensão de linha no início da linha sem bancos:
V_{LL1}=\sqrt{3}\,|V_1|=\sqrt{3}\times6950{,}3\approx12042\;\mathrm V.

Passo 7

Agora ligamos o banco Δ que fornece Q_c=1920\;\mathrm{kVAr} à 6600\sqrt{3} V linha.
Por fase, Q_{c\varphi}=1920/3=640\;\mathrm{kVAr}. A carga original consumia
Q_{\varphi}=S_{\varphi}\sin\varphi=660\times0,8=528\;\mathrm{kVAr}.
O reativo líquido por fase é
Q_{\text{líq}}=528 - 640 = -112\;\mathrm{kVAr}í
(capacitivo). A potência ativa por fase é
P_{\varphi}=\frac{1188}{3}=396\;\mathrm{kW}.
Assim a nova corrente por fase é
I' = \frac{P_{\varphi}-j\,Q_{\text{líq}}}{V_{\varphi}} = \frac{396\times10^3 - j\,(-112\times10^3)}{6600} =60 - j16{,}97\;\mathrm Aí
|I'|=\sqrt{60^2+16{,}97^2}\approx62{,}36\;\mathrm A, \quad\angle I'=-15{,}8^\circ.

Passo 8

Nova tensão de fase no início da linha com bancos:
V_1' = V_2 + Z_{\ell}\,I'
Z_{\ell}I'=(0,5+j4)\,(60 - j16{,}97)\approx97{,}9 + j231{,}5\;\mathrm V
V_1'=(6600+97{,}9)+j(0+231{,}5)=6697{,}9 + j231{,}5\;\mathrm V
|V_1'|=\sqrt{6697{,}9^2+231{,}5^2}\approx6702{,}5\;\mathrm V, \quad\angle V_1'\approx1{,}98^\circ.

Passo 9

Tensão de linha no início com bancos:
V_{LL1}'=\sqrt{3}\,|V_1'|=\sqrt{3}\times6702{,}5\approx11605\;\mathrm V.

Passo 10

Capacitância de cada capacitor ( f=60 Hz). Num banco Δ o módulo de tensão em cada ramo é V_{LL}=6600\sqrt{3}=11445\;\mathrm V. Sabemos
Q_c = 3\,V_{LL}^2\,\omega C, \quad \omega=2\pi f=2\pi\cdot60\;\mathrm{rad/s}.
Então
C = \frac{Q_c}{3\,V_{LL}^2\,\omega} = \frac{1920\times10^3}{3\,(11445)^2\,(2\pi\cdot60)} \approx1{,}30\times10^{-5}\;\mathrm F =13{,}0\;\mu\mathrm F.

Resposta

a) Veja o circuito monofásico:
V_1 \;-\; Z_{\ell}=0,5+j4\;\Omega \;-\; Z_C \;-\; V_2
b) \displaystyle I=100\angle -53{,}13^\circ\;\mathrm A
c) \displaystyle V_1=6950 + j200\;\mathrm V
d) \displaystyle V_{LL1}=12042\;\mathrm V
e) \displaystyle V_{LL1}'=11605\;\mathrm V
f) \displaystyle C\approx13{,}0\;\mu\mathrm F

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