A potência total fornecida a uma carga trifásica, equilibrada, quando está funcionando a uma tensão de linha de 6600 \sqrt{ } 3 \mathrm{~V}, é 1188 kW com fator de potência atrasado de 0,6 . A impedância da linha de distribuição que alimenta a carga é de 0,5+\mathrm{j} 4 \Omega por fase. Sob essas condições de funcionamento, a queda do módulo da tensão de linha entre o início e o final da linha (terminal a carga) é excessiva. Para compensar, um banco de capacitores ligados em \Delta é inserido em paralelo com a carga. O banco de capacitores é projetado para fornecer 1920 kVAr quando alimentado por uma tensão de linha de 6600 \sqrt{ } 3 \mathrm{~V}.
a) Desenhe o circuito equivalente monofásico para a condição de carga com o banco de capacitores desligado.
b) Calcule a corrente de linha para a condição do item (a).
c) Calcule a tensão fase-neutro no início da linha para a condição do item (a).
d) Calcule o módulo da tensão de linha no início da linha para a condição do item (a).
e) Recalcule o módulo da tensão de linha no início da linha quando os banco de capacitores estiver ligado.
f) Se o sistema opera em 60 Hz , qual a capacitância dos capacitores do banco instalado?

Passo 1

O problema trata de uma carga trifásica equilibrada alimentada por uma linha de impedância \,Z_{\ell}=0,5+\mathrm{j}4\\ \Omega por fase, funcionando a tensão de linha V_{L}=6600\sqrt{3}\\ \mathrm{V}. A carga absorve P_{\text{tot}}=1188\\ \mathrm{kW} com fator de potência atrasado \mathrm{pf}=0,6. Sem compensação a queda de tensão é grande, então se insere um banco de capacitores em \Delta que fornece Q_{c,\text{tot}}=1920\\ \mathrm{kVAr} a V_{L}=6600\sqrt{3}\\ \mathrm{V}.
Conteúdo usado:
  • Conversão trifásico ↔ monofásico S_{\text{tot}}/3, V_{\varphi}=V_{L}/\sqrt{3},
  • Cálculo de corrente de fase I_{\varphi}=S_{\varphi}/V_{\varphi},
  • Queda de tensão fasorial \Delta V=I_{\varphi}\,Z_{\ell} e soma fasorial para obtenção da tensão no início da linha,
  • Cálculo de capacitância a partir de Q=3\,V_{L}^{2}\,\omega\,C (configuração \Delta).

Passo 2

Circuito equivalente monofásico (banco desligado):
 Fonte de tensão V_{s} (tensão no início da linha) → impedância de linha Z_{\ell}=0,5+\mathrm{j}4\\ \Omega → carga representada pela potência aparente trifásica dividida por 3 (ramo de carga com corrente I_{\varphi}), sem capacitor em paralelo.

Passo 3

Calcular a corrente de linha sem banco:
  1. Potência aparente total
S_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{tot}}}{\mathrm{pf}} =\frac{1188\\ \mathrm{kW}}{0{,}6}=1980\\ \mathrm{kVA}.
  1. Reativa total
Q_{\text{tot}}=\sqrt{S_{\text{tot}}^{2}-P_{\text{tot}}^{2}} =\sqrt{1980^{2}-1188^{2}}\approx1584\\ \mathrm{kVAr}.
  1. Por fase
P_{\varphi}=\frac{1188}{3}=396\\ \mathrm{kW},\quad Q_{\varphi}=\frac{1584}{3}=528\\ \mathrm{kVAr}.
  1. Tensão fase-neutro
V_{\varphi}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}} =\frac{6600\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6600\\ \mathrm{V}.
  1. Corrente de fase (e de linha, pois carga equilibrada)
I_{\varphi} =\frac{P_{\varphi}+j\,Q_{\varphi}}{V_{\varphi}} =\frac{396000+j\,528000}{6600} =60+j\,80\\ \mathrm{A},
|I_{\ell}|=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=100\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular a tensão fase-neutro e linha no início da linha (banco desligado):
  1. Adotando referência \,V_{\mathrm{carga}}=6600\angle0^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  2. Queda de tensão na linha
\Delta V =I_{\varphi}\,Z_{\ell} =(100\angle53{,}13^{\circ})(4{,}03\angle82{,}87^{\circ}) =403\angle136^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  1. Tensão no início da linha (fase-neutro)
V_{s,\varphi} =6600\angle0^{\circ}+403\angle136^{\circ} \approx6310+ j\,280\\ \mathrm{V},
|V_{s,\varphi}|\approx6317\\ \mathrm{V}.
  1. Tensão de linha no início
|V_{s,L}|=\sqrt{3}\,|V_{s,\varphi}| \approx1{,}732\times6317\approx10939\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Recalcular tensão de linha no início com banco de capacitores ligado:
  1. Q compensada por fase
Q_{c,\varphi}=\frac{1920}{3}=640\\ \mathrm{kVAr}.
  1. Reativa líquida por fase
Q_{\varphi,\text{líq}}=528-640=-112\\ \mathrm{kVAr}.í
  1. Corrente de fase compensada
I_{\varphi}' =\frac{396000 - j\,112000}{6600} =60 - j\,16{,}97\\ \mathrm{A},
|I_{\varphi}'|=\sqrt{60^{2}+(-16{,}97)^{2}}\approx62{,}3\\ \mathrm{A},\quad \angle I_{\varphi}'\approx-15{,}8^{\circ}.
  1. Queda na linha
\Delta V' =(62{,}3\angle-15{,}8^{\circ})(4{,}03\angle82{,}87^{\circ}) =251\angle67{,}1^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  1. Tensão fase-neutro no início
V_{s,\varphi}' =6600\angle0^{\circ}+251\angle67{,}1^{\circ} \approx6697+ j\,231\\ \mathrm{V},
|V_{s,\varphi}'|\approx6700\\ \mathrm{V}.
  1. Tensão de linha compensada
|V_{s,L}'|=\sqrt{3}\,6700\approx1{,}732\times6700\approx11600\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Capacitância do banco 60\\ \mathrm{Hz}, \omega=2\pi\cdot60:
Em conexão \Delta cada fase do capacitor vê V_{L}, e
Q_{c,\text{tot}}=3\,V_{L}^{2}\,\omega\,C \;\Longrightarrow\; C=\frac{Q_{c,\text{tot}}}{3\,V_{L}^{2}\,\omega}.
Substituindo
V_{L}=6600\sqrt{3}\\ \mathrm{V},\quad Q_{c,\text{tot}}=1{,}92\times10^{6}\\ \mathrm{VAr},\quad \omega=2\pi\cdot60,
C\approx\frac{1{,}92\times10^{6}}{3\,(6600\sqrt{3})^{2}\,(2\pi\cdot60)} \approx1{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Resposta

a) Circuito monofásico: fonte V_{s} → impedância Z_{\ell}=0{,}5+j4\\ \Omega → carga S_{\varphi}=(396+j528)\\ \mathrm{kVA}.
b) |I_{\ell}|=100\\ \mathrm{A}.
c) V_{s,\varphi}\approx6317\\ \mathrm{V}.
d) |V_{s,L}|\approx10939\\ \mathrm{V}.
e) |V_{s,L}'|\approx11600\\ \mathrm{V}.
f) C\approx1{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{F} ( 13\muF) por fase.

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