A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Passo 1
O enunciado diz que cada troca de
garrafas vazias por
garrafa cheia de
litro é permitida. Você possui inicialmente
garrafas vazias. A pergunta é: até quantos litros de leite você consegue obter no total trocando repetidamente as garrafas vazias? As opções são: (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): vamos trocar as garrafas em etapas. Se em algum momento você tem
garrafas vazias, então:
é o número de garrafas cheias que você obtém nessa troca (a parte inteira da divisão), e
é o resto (quantas garrafas vazias sobram). Depois de beber as
garrafas cheias, você transforma essas
garrafas cheias em
vazias, então o total de vazias disponíveis para a próxima troca fica
Repetimos enquanto
. Explicando com calma: a função
significa "maior inteiro menor ou igual a
"; por exemplo,
porque cabe
troca de
em
, sobrando
.
Passo 3
Aplicando ao caso inicial
:
Calcule o primeiro quociente e resto:
Você obtém
garrafas cheias nessa primeira troca. Depois de beber essas
, as vazias que você tem para a próxima etapa são
Até agora já conseguiu
litros.
Passo 4
Com
:
Você obtém
garrafas cheias nessa segunda troca. Depois de beber, as vazias para a próxima são
Total acumulado até agora:
litros.
Passo 5
Com
:
Você obtém
garrafa cheia nessa terceira troca. Depois de beber, as vazias são
Total acumulado:
litros.
Passo 6
Agora
, então não é mais possível trocar. Portanto o processo termina aqui e o total de litros obtidos é
.
Resposta
D) 14