A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15

Passo 1

O enunciado diz que cada troca de 4 garrafas vazias por 1 garrafa cheia de 1 litro é permitida. Você possui inicialmente 43 garrafas vazias. A pergunta é: até quantos litros de leite você consegue obter no total trocando repetidamente as garrafas vazias? As opções são: (A) 11, (B) 12, (C) 13, (D) 14, (E) 15.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): vamos trocar as garrafas em etapas. Se em algum momento você tem E garrafas vazias, então:
q=\left\lfloor\frac{E}{4}\right\rfloor
é o número de garrafas cheias que você obtém nessa troca (a parte inteira da divisão), e
r=E-4q
é o resto (quantas garrafas vazias sobram). Depois de beber as q garrafas cheias, você transforma essas q garrafas cheias em q vazias, então o total de vazias disponíveis para a próxima troca fica
E_{\text{novo}}=q+r.
Repetimos enquanto E_{\text{novo}}\ge 4. Explicando com calma: a função \lfloor x\rfloor significa "maior inteiro menor ou igual a x"; por exemplo, \left\lfloor\frac{6}{4}\right\rfloor=1 porque cabe 1 troca de 4 em 6, sobrando 2.

Passo 3

Aplicando ao caso inicial E=43:
Calcule o primeiro quociente e resto:
q_1=\left\lfloor\frac{43}{4}\right\rfloor=10,
r_1=43-4\cdot 10=3.
Você obtém 10 garrafas cheias nessa primeira troca. Depois de beber essas 10, as vazias que você tem para a próxima etapa são
E_2=q_1+r_1=10+3=13.
Até agora já conseguiu 10 litros.

Passo 4

Com E_2=13:
q_2=\left\lfloor\frac{13}{4}\right\rfloor=3,
r_2=13-4\cdot 3=1.
Você obtém 3 garrafas cheias nessa segunda troca. Depois de beber, as vazias para a próxima são
E_3=q_2+r_2=3+1=4.
Total acumulado até agora: 10+3=13 litros.

Passo 5

Com E_3=4:
q_3=\left\lfloor\frac{4}{4}\right\rfloor=1,
r_3=4-4\cdot 1=0.
Você obtém 1 garrafa cheia nessa terceira troca. Depois de beber, as vazias são
E_4=q_3+r_3=1+0=1.
Total acumulado: 13+1=14 litros.

Passo 6

Agora E_4=1<4, então não é mais possível trocar. Portanto o processo termina aqui e o total de litros obtidos é 14.

Resposta

D) 14