A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
com
e
constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível de
) para pressões superiores a
.
Passo 1
O enunciado dá uma função pressão próxima ao solo
com
constantes positivas, e pede para descrever as isobáricas (curvas de nível de
) para pressões superiores a
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função explícita é
. - Os parâmetros
são positivos. - Devemos estudar as curvas
com . - Resultado esperado: uma descrição geométrica (que tipo de curva, centro, eixos, tamanho, comportamento quando
varia).
Passo 2
Definição e montagem da equação de nível: chamar de
uma pressão fixa com
. A isobárica correspondente é o conjunto dos pontos
que satisfazem
Substituindo a expressão de
obtemos a equação que define a curva de nível:
Passo 3
Isolar os termos quadráticos: passo simples de álgebra. Subtraindo
de ambos os lados:
Como estamos assumindo
, o membro direito é positivo. Denotemos
para facilitar a escrita. Assim
Passo 4
Colocar a equação na forma canônica de elipse. Dividindo ambos os lados por
temos
Reescrevendo de modo a aparecerem denominadores na forma padrão:
Portanto a curva é uma elipse centrada na origem, alinhada com os eixos coordenados.
Passo 5
Interpretar os denominadores como quadrados dos semi-eixos. Definimos os semi-eixos positivos por
A equação da isobárica fica então
o que é a forma padrão de uma elipse com semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
).
Passo 6
Consequências e casos especiais (úteis para a prova):
- Como
e , os valores são reais e positivos: as isobáricas são elipses fechadas e limitadas. - Se
então e as isobáricas são círculos de raio . - Se
então : a elipse é mais “apertada” no eixo . - Quando
aumenta (isto é, consideramos isobáricas para pressões maiores), cresce e ambos aumentam: as elipses ficam maiores, com a mesma orientação. - Para
temos e a isobárica degenera para o ponto . - Para
não existem pontos reais satifeitos (nenhuma isobárica real), já que .
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
- Se
e então : isobárica é o círculo . - Se
, e então e : elipse com semi-eixos (horizontal) e (vertical).
Resposta
Para
as isobáricas
são elipses centradas na origem com equação
e semi-eixos