A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
p(x, y)=a \cdot x^{2}+b \cdot y^{2}+c
com a, b e c constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível de p ) para pressões superiores a c.

Passo 1

O enunciado dá uma função pressão próxima ao solo
p(x,y)=a\cdot x^{2}+b\cdot y^{2}+c
com a,b,c constantes positivas, e pede para descrever as isobáricas (curvas de nível de p) para pressões superiores a c.\n
Informações relevantes:
  • A função explícita é \;p(x,y)=a x^{2}+b y^{2}+c\;.
  • Os parâmetros a,b,c são positivos.
  • Devemos estudar as curvas \{(x,y)\mid p(x,y)=p_0\} com p_0>c.
  • Resultado esperado: uma descrição geométrica (que tipo de curva, centro, eixos, tamanho, comportamento quando p_0 varia).

Passo 2

Definição e montagem da equação de nível: chamar de p_0 uma pressão fixa com \;p_0>c\;. A isobárica correspondente é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem
p(x,y)=p_0.
Substituindo a expressão de p obtemos a equação que define a curva de nível:
a x^{2}+b y^{2}+c = p_0.

Passo 3

Isolar os termos quadráticos: passo simples de álgebra. Subtraindo c de ambos os lados:
a x^{2}+b y^{2} = p_0-c.
Como estamos assumindo p_0>c, o membro direito é positivo. Denotemos \;k:=p_0-c>0\; para facilitar a escrita. Assim
a x^{2}+b y^{2} = k.

Passo 4

Colocar a equação na forma canônica de elipse. Dividindo ambos os lados por k temos
\frac{a x^{2}}{k} + \frac{b y^{2}}{k} = 1.
Reescrevendo de modo a aparecerem denominadores na forma padrão:
\frac{x^{2}}{k/a} + \frac{y^{2}}{k/b} = 1.
Portanto a curva é uma elipse centrada na origem, alinhada com os eixos coordenados.

Passo 5

Interpretar os denominadores como quadrados dos semi-eixos. Definimos os semi-eixos positivos por
r_x := \sqrt{\frac{k}{a}} = \sqrt{\frac{p_0-c}{a}},\qquad r_y := \sqrt{\frac{k}{b}} = \sqrt{\frac{p_0-c}{b}}.
A equação da isobárica fica então
\frac{x^{2}}{r_x^{2}} + \frac{y^{2}}{r_y^{2}} = 1,
o que é a forma padrão de uma elipse com semi-eixos r_x (na direção x) e r_y (na direção y).

Passo 6

Consequências e casos especiais (úteis para a prova):
  • Como a,b>0 e p_0-c>0, os valores r_x,r_y são reais e positivos: as isobáricas são elipses fechadas e limitadas.
  • Se a=b então r_x=r_y e as isobáricas são círculos de raio \sqrt{(p_0-c)/a}.
  • Se a>b então r_x<r_y: a elipse é mais “apertada” no eixo x.
  • Quando p_0 aumenta (isto é, consideramos isobáricas para pressões maiores), p_0-c cresce e ambos r_x,r_y aumentam: as elipses ficam maiores, com a mesma orientação.
  • Para p_0=c temos k=0 e a isobárica degenera para o ponto (0,0).
  • Para p_0<c não existem pontos reais satifeitos (nenhuma isobárica real), já que a x^{2}+b y^{2}\ge 0.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
  • Se a=b=1 e p_0-c=4 então r_x=r_y=2: isobárica é o círculo x^{2}+y^{2}=4.
  • Se a=4, b=1 e p_0-c=9 então r_x=\sqrt{9/4}=3/2 e r_y=\sqrt{9/1}=3: elipse com semi-eixos 3/2 (horizontal) e 3 (vertical).

Resposta

Para p_0>c as isobáricas \{(x,y)\mid p(x,y)=p_0\} são elipses centradas na origem com equação
\frac{x^{2}}{(p_0-c)/a} + \frac{y^{2}}{(p_0-c)/b} = 1,
e semi-eixos
r_x=\sqrt{\frac{p_0-c}{a}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{p_0-c}{b}}.

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