(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial e descreva seu comportamento para valores grandes de
. Res:
oscila em torno de 12 quando
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica. Além disso, vamos analisar o comportamento da solução quando o tempo
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral:
- Para
:
- Para
, usamos a fórmula de integração para produtos de exponenciais e cossenos:
Aqui,
e
:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Precisamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é:
Para valores grandes de
, o termo
tende a zero, então a solução oscila em torno de 12, com as oscilações determinadas pelos termos de cosseno e seno.