y' + 1/4 y = 3 + 2 cos(2t) y(0) = 0
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial e descreva seu comportamento para valores grandes de t. Res: y = 12 + 8/65 cos(2t) + 64/65 sen(2t) - 788/65 e^(-t/4) oscila em torno de 12 quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
y' + 1/4 y = 3 + 2 cos(2t) y(0) = 0
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica. Além disso, vamos analisar o comportamento da solução quando o tempo fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral:
  1. Para :
  1. Para , usamos a fórmula de integração para produtos de exponenciais e cossenos:
Aqui, e :
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Precisamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A solução do problema é:
Para valores grandes de , o termo tende a zero, então a solução oscila em torno de 12, com as oscilações determinadas pelos termos de cosseno e seno.

Exercícios relacionados