O princípio de inclusão-exclusão pode ser usado para calcular o número de funções sobrejetivas entre um conjunto A de m elementos para um conjunto B de n elementos, com m >= n. A fórmula resultante é
n^m-underbracebinomn1(n-1)^m+binomn2(n-2)^m-cdots+(-1)^n-1 C(n, n-1) cdot 1^m
O segundo termo, destacado com underbracesim, representa uma subclasse de todas as funções de A para B. Descreva esta subclasse.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre o Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado para contar o número de funções sobrejetivas entre dois conjuntos. A gente vai precisar entender esse princípio e como ele ajuda a contar funções que atingem todos os elementos do conjunto destino. Hoje, vamos focar em descrever uma parte específica da fórmula que representa uma subclasse dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. É aquela função onde todos os elementos do conjunto de chegada (no caso, o conjunto $ B B ã A $). Ou seja, não sobra nenhum elemento de $ B $ que não seja imagem de algum elemento de $ A $.

Passo 3

Agora, a fórmula que você trouxe usa o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar essas funções sobrejetivas. A segunda parte da fórmula é:
underbracebinomn1(n-1)^m
Vamos entender o que isso representa.

Passo 4

O termo $ \binom{n}{1} $ é uma combinação que representa o número de maneiras de escolher 1 elemento do conjunto $ B $. Já $ (n-1)^{m} $ conta todas as funções do conjunto $ A $ para o conjunto $ B’ $, que tem $ n-1 $ elementos (ou seja, $ B $ sem aquele 1 que escolhemos).

Passo 5

Então, o produto $ \binom{n}{1}(n-1)^{m} $ conta todas as funções que deixam de mapear para pelo menos 1 elemento específico de $ B $. Isso inclui todas as funções que não atingem exatamente 1 elemento de $ B $.

Passo 6

Portanto, essa subclasse representada pelo segundo termo da fórmula são todas as funções de $ A $ para $ B $ que deixam de atingir exatamente 1 elemento do conjunto $ B $. Em outras palavras, são as funções onde um elemento específico de $ B $ não aparece como imagem de nenhum elemento de $ A $.

Resposta

A subclasse representada pelo segundo termo da fórmula consiste em todas as funções de $ A $ para $ B $ que não mapeiam para exatamente um elemento específico de $ B $. Ou seja, são as funções que deixam de atingir um único elemento do conjunto $ B $.

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