Princípio de Superposição. Se y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{1}(x) e de y^{\prime \prime}+ P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{2}(x) respetivamente, mostre que y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) é solução de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+ Q(x) y=R_{1}(x)+R_{2}(x). Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 e^{-x}+4

Passo 1

O enunciado pede para usar o princípio de superposição em equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes em x. Temos a equação
y''+y'-2y = 6e^{-x} + 4.
Para resolver, vamos precisar de:
  1. A solução geral da homogênea \,y''+y'-2y=0.
  2. Duas soluções particulares, y_1 para R_1(x)=6e^{-x} e y_2 para R_2(x)=4.
  3. Somar y_1+y_2 para obter a particular de R_1+R_2. Por fim, somar com a homogênea.

Passo 2

Demonstração rápida do princípio: seja L[y]=y''+P(x)y'+Q(x)y. Se
L[y_1]=R_1 \quad\text{e}\quad L[y_2]=R_2,
então, pela linearidade de L,
L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=R_1+R_2.
Logo y=y_1+y_2 satisfaz L[y]=R_1+R_2.

Passo 3

Encontrar a solução geral da homogênea
y''+y'-2y=0.
Procuramos y=e^{rx}. A equação característica é
r^2+r-2=0 \;\Longrightarrow\; (r+2)(r-1)=0 \;\Longrightarrow\; r=-2,\;1.
Logo
y_h(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-2x}.

Passo 4

Achar uma solução particular y_1 para o termo 6e^{-x}. Como e^{-x} não é solução da homogênea, tentamos
y_1(x)=A\,e^{-x}.
Então
y_1'=-A\,e^{-x}, \quad y_1''=A\,e^{-x}.
Substituindo em y''+y'-2y:
A e^{-x} \;+\;(-A e^{-x})\;-\;2A e^{-x} = (A - A - 2A)e^{-x} = -2A\,e^{-x}
deve ser igual a 6e^{-x}, logo
-2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A = -3.
Assim
y_1(x) = -3e^{-x}.

Passo 5

Achar uma solução particular y_2 para o termo constante 4. Tentamos y_2(x)=B (constante), daí
y_2'=0, \quad y_2''=0,
e a equação dá
0 + 0 - 2B = 4 \quad\Longrightarrow\quad B = -2.
Portanto
y_2(x) = -2.

Passo 6

Pela superposição, uma solução particular para 6e^{-x}+4 é
y_p(x)=y_1(x)+y_2(x) = -3e^{-x}-2.
Logo, a solução geral da não homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =C_1e^{x}+C_2e^{-2x}-3e^{-x}-2.

Resposta

y(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-2x}-3e^{-x}-2

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