Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para usar o princípio de superposição em equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes em
. Temos a equação
Para resolver, vamos precisar de:
- A solução geral da homogênea
. - Duas soluções particulares,
para e para . - Somar
para obter a particular de . Por fim, somar com a homogênea.
Passo 2
Demonstração rápida do princípio: seja
. Se
então, pela linearidade de
,
Logo
satisfaz
.
Passo 3
Encontrar a solução geral da homogênea
Procuramos
. A equação característica é
Logo
Passo 4
Achar uma solução particular
para o termo
. Como
não é solução da homogênea, tentamos
Então
Substituindo em
:
deve ser igual a
, logo
Assim
Passo 5
Achar uma solução particular
para o termo constante
. Tentamos
(constante), daí
e a equação dá
Portanto
Passo 6
Pela superposição, uma solução particular para
é
Logo, a solução geral da não homogênea é