Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para usar o princípio de superposição em equações lineares de segunda ordem não homogêneas. Aqui temos
que pode ser vista como soma de duas forçantes
e
. Segundo o princípio, se acharmos uma solução particular
para
e
para
, então
é solução particular para a soma. Além disso, devemos somar a solução geral da homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é
com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora, buscamos
para
Como
já é solução da homogênea, usamos o ansatz com ressonância
Calculando
e igualando a
obtemos
de onde
e
. Assim
Passo 4
Em seguida, achamos
para
Tentamos um polinômio de grau 2:
Substituindo em
dá
logo
,
e
. Portanto
Passo 5
Pela superposição, uma solução particular da equação completa é
Somando com a homogênea, a solução geral fica