Princípio de Superposição. Se y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{1}(x) e de y^{\prime \prime}+ P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{2}(x) respetivamente, mostre que y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) é solução de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+ Q(x) y=R_{1}(x)+R_{2}(x). Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=\cos x+8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para usar o princípio de superposição em equações lineares de segunda ordem não homogêneas. Aqui temos
y'' + y = \cos x + 8x^2,
que pode ser vista como soma de duas forçantes R_{1}(x)=\cos x e R_{2}(x)=8x^2. Segundo o princípio, se acharmos uma solução particular y_{p1} para R_{1} e y_{p2} para R_{2}, então y_{p}=y_{p1}+y_{p2} é solução particular para a soma. Além disso, devemos somar a solução geral da homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0 com raízes r=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x.

Passo 3

Agora, buscamos y_{p1} para
y''+y=\cos x.
Como \cos x já é solução da homogênea, usamos o ansatz com ressonância
y_{p1}=x\bigl(A\cos x+B\sin x\bigr).
Calculando y_{p1}''+y_{p1} e igualando a \cos x obtemos
y_{p1}''+y_{p1}=-2A\sin x+2B\cos x \stackrel{!}{=}\cos x
de onde A=0 e B=\tfrac12. Assim
y_{p1}=\tfrac12\,x\sin x.

Passo 4

Em seguida, achamos y_{p2} para
y''+y=8x^2.
Tentamos um polinômio de grau 2:
y_{p2}=Ax^2+Bx+C, \quad y_{p2}''=2A.
Substituindo em y''+y
Ax^2+Bx+(2A+C)=8x^2,
logo A=8, B=0 e 2A+C=0\implies C=-16. Portanto
y_{p2}=8x^2-16.

Passo 5

Pela superposição, uma solução particular da equação completa é
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac12\,x\sin x+8x^2-16.
Somando com a homogênea, a solução geral fica
y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+\tfrac12\,x\sin x+8x^2-16.

Resposta

y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+\tfrac12\,x\sin x+8x^2-16.

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