Para cada afirmação a seguir, determine se é uma hipótese estatística legítima e por quê:
H: \sigma_{1} / \sigma_{2}<1

Passo 1

O enunciado nos dá a hipótese
\Theta_H=\{(\sigma_{1},\sigma_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid \tfrac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}<1\}
e pede para avaliar se isso é uma hipótese estatística legítima. O conteúdo envolve a definição de hipótese estatística como um subconjunto do espaço paramétrico.

Passo 2

Por definição, uma hipótese estatística é a afirmação de que o vetor parâmetro \theta pertence a um certo subconjunto \Theta_{0}\subseteq\Theta. Qualquer \Theta_{0} mensurável gera uma hipótese estatística “em sentido amplo”. Porém, quando usamos \Theta_{0} como hipótese nula em testes de nível \alpha, precisamos que o supremo do risco de Tipo I
\sup_{\theta\in\Theta_{0}}P_{\theta}(\text{rejeitar }H_{0})
seja igual a \alpha. Isso costuma exigir que \Theta_{0} seja fechado ou que inclua sua fronteira, pois o pior caso costuma ocorrer exatamente na borda de \Theta_{0}.

Passo 3

No nosso caso,
\Theta_H=\{(\sigma_{1},\sigma_{2})\mid \sigma_{1}/\sigma_{2}<1\}
é um conjunto aberto em \mathbb{R}_{+}^{2}. A fronteira desse conjunto é dada por
\sigma_{1}/\sigma_{2}=1,
que não faz parte de \Theta_H.

Passo 4

Se tentarmos controlar o nível de significância \alpha tomando H\colon\theta\in\Theta_H como hipótese nula, o supremum do risco de Tipo I só seria atingido na fronteira \sigma_{1}/\sigma_{2}=1, mas essa fronteira está fora de \Theta_H. Consequentemente não há garantia de que
\sup_{\theta\in\Theta_H}P_{\theta}(\text{rejeitar }H)
possa ser exatamente igual a \alpha.

Passo 5

Portanto, embora qualquer subconjunto defina uma hipótese, a região \sigma_{1}/\sigma_{2}<1 sendo aberta impede o controle de nível em testes clássicos. Para uma hipótese nula legítima seria necessário usar
\sigma_{1}/\sigma_{2}\le1, incluindo a fronteira.

Resposta

A afirmação H\colon \sigma_{1}/\sigma_{2}<1 não é uma hipótese nula legítima, pois o conjunto definido é aberto e não permite controlar o nível de significância.