Uma companhia de cartão de crédito monitora os hábitos de transações de seus clientes de modo a detectar qualquer atividade não usual. Suponha que o valor do dólar de uma atividade não usual para um cliente em um mês siga uma distribuição normal, com média de \ 250 e variância deâ$391 . a. Qual é a probabilidade de \(\\) 250\(a\)\$300 em uma atividade não usual em um mês?
b. Qual é a probabilidade de mais de \ 300$ em uma atividade não usual em um mês?
c. Suponha que dez contas de clientes sigam, independentemente, a mesma distribuição normal. Qual é a probabilidade de no mínimo um desses clientes exceder $ 300 em uma atividade não usual em um mês?

Passo 1

O enunciado diz que o valor X (em dólares) de uma atividade não usual num mês segue distribuição normal com média \mu=250 e variância \sigma^2=391. Precisamos calcular
– a probabilidade de 250\le X\le300,
– a probabilidade de X>300,
– e, supondo dez clientes independentes com a mesma distribuição, a probabilidade de pelo menos um exceder 300.

Passo 2

Para qualquer valor x convertemos em escore- Z por
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},\quad \sigma = \sqrt{391}\approx 19,773.
Em particular, para x=300 temos
z = \frac{300-250}{\sqrt{391}} = \frac{50}{19,773}\approx 2,528.

Passo 3

Item (a):
P(250\le X\le300) = P\bigl(0\le Z\le2,528\bigr) = \Phi(2,528)-\Phi(0) = \Phi(2,528)-0,5.
Da tabela normal padrão, \Phi(2,528)\approx0,9943. Logo
P(250\le X\le300)\approx0,9943-0,5=0,4943.

Passo 4

Item (b):
P(X>300) = 1-\Phi(2,528) \approx 1-0,9943=0,0057.

Passo 5

Item (c): se X_1,\dots,X_{10} são independentes com a mesma distribuição, então
P(\text{pelo menos um}>300) =1-P(\text{todos}\le300) =1-\bigl[\Phi(2,528)\bigr]^{10} =1-(0,9943)^{10}.
Calculando, (0,9943)^{10}\approx0,9445, então
P(\text{pelo menos um}>300)\approx1-0,9445=0,0555.

Resposta

a) 0,4943
b) 0,0057
c) 0,0555