Considere \Omega=\{0,1\}\) e tome \(\mathcal{F}\) como a \(\sigma\)-álgebra das partes de \(\Omega\). Defina as funções: \[f(w)=\left\{\begin{array}{ll} 1 / 2, & \text { se } w=\{0\} ; \\\\ 1 / 2, & \text { se } w=\{1\} ; \end{array} \quad \text { e } \quad g(w)= \begin{cases}1 / 3, & \text { se } w=\{0\} \\\\ 2 / 3, & \text { se } w=\{1\}\end{cases}\right.
Admita que tanto f\] quanto \(g são aditivas para a união de conjuntos disjuntos, isto é, se A e B são disjuntos, f(A \cup B)=f(A)+f(B).
a. Verifique que f e g satisfazem os Axiomas de \operatorname{Kolmogorovem}(\Omega, \mathcal{F}).
b. Mostre que, para 0<\alpha<1, \alpha f+(1-\alpha) g é uma função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado define o espaço de probabilidade \Omega=\{0,1\} com a \sigma-álgebra \mathcal{F}=2^\Omega e duas funções f e g dadas por
f(\{0\})=f(\{1\})=\tfrac12, \quad g(\{0\})=\tfrac13,\; g(\{1\})=\tfrac23,
extensíveis a qualquer evento por aditividade em uniões disjuntas.
Vamos mostrar em (a) que ambas satisfazem os axiomas de Kolmogorov (não negatividade, normalização e aditividade) e em (b) que a combinação convexa
h:=\alpha f+(1-\alpha)g, \quad 0<\alpha<1,
é também medida de probabilidade.

Passo 2

Verificação para f:
  • Não negatividade: para qualquer A\subseteq\Omega temos \{0\}, \{1\} e \emptyset como únicos casos. Em cada um,
f(\emptyset)=0,\quad f(\{0\})=\tfrac12\ge0,\quad f(\{1\})=\tfrac12\ge0.
  • Normalização: usando aditividade em \{0\} e \{1\} (são disjuntos),
f(\Omega)=f(\{0,1\})=f(\{0\})+f(\{1\})=\tfrac12+\tfrac12=1.
  • Aditividade finita: é dada por hipótese sempre que A\cap B=\emptyset.
    Logo f satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov.

Passo 3

Verificação para g:
  • Não negatividade:
g(\emptyset)=0,\quad g(\{0\})=\tfrac13\ge0,\quad g(\{1\})=\tfrac23\ge0.
  • Normalização:
g(\Omega)=g(\{0\})+g(\{1\})=\tfrac13+\tfrac23=1.
  • Aditividade finita: vale por hipótese sempre que os conjuntos são disjuntos.
    Logo g também satisfaz os axiomas de Kolmogorov.

Passo 4

Definimos a combinação convexa
h(A)=\alpha\,f(A)+(1-\alpha)\,g(A), \quad A\in\mathcal{F}, \quad 0<\alpha<1.

Passo 5

Verificação para h:
  • Não negatividade: como f(A)\ge0 e g(A)\ge0, segue
    \,h(A)=\alpha f(A)+(1-\alpha)g(A)\ge0.
  • Normalização:
h(\Omega) =\alpha\,f(\Omega)+(1-\alpha)\,g(\Omega) =\alpha\cdot1+(1-\alpha)\cdot1 =1.
  • Aditividade finita: se A\cap B=\emptyset então
h(A\cup B) =\alpha\,f(A\cup B)+(1-\alpha)\,g(A\cup B) =\alpha\bigl(f(A)+f(B)\bigr)+(1-\alpha)\bigl(g(A)+g(B)\bigr) =h(A)+h(B).
Portanto h é uma probabilidade.

Resposta

a. As duas funções f e g satisfazem os axiomas de Kolmogorov (não negatividade, normalização e aditividade).
b. Para todo 0<\alpha<1, a função \alpha f+(1-\alpha)g é também uma medida de probabilidade.