Considere
Admita que tanto
são aditivas para a união de conjuntos disjuntos, isto é, se
e
são disjuntos,
.
a. Verifique que
e
satisfazem os Axiomas de
.
b. Mostre que, para
é uma função de probabilidade.
b. Mostre que, para
Passo 1
O enunciado define o espaço de probabilidade
com a
-álgebra
e duas funções
e
dadas por
extensíveis a qualquer evento por aditividade em uniões disjuntas.
Vamos mostrar em (a) que ambas satisfazem os axiomas de Kolmogorov (não negatividade, normalização e aditividade) e em (b) que a combinação convexa
Vamos mostrar em (a) que ambas satisfazem os axiomas de Kolmogorov (não negatividade, normalização e aditividade) e em (b) que a combinação convexa
é também medida de probabilidade.
Passo 2
Verificação para
:
- Não negatividade: para qualquer
temos , e como únicos casos. Em cada um,
- Normalização: usando aditividade em
e (são disjuntos),
- Aditividade finita: é dada por hipótese sempre que
.
Logosatisfaz todos os axiomas de Kolmogorov.
Passo 3
Verificação para
:
- Não negatividade:
- Normalização:
- Aditividade finita: vale por hipótese sempre que os conjuntos são disjuntos.
Logotambém satisfaz os axiomas de Kolmogorov.
Passo 4
Definimos a combinação convexa
Passo 5
Verificação para
:
- Não negatividade: como
e , segue
. - Normalização:
- Aditividade finita: se
então
Portanto
é uma probabilidade.
Resposta
a. As duas funções
e
satisfazem os axiomas de Kolmogorov (não negatividade, normalização e aditividade).
b. Para todo , a função
é também uma medida de probabilidade.
b. Para todo