Durante as operações de perfuração de petróleo, os componentes do equipamento de perfuração podem sofrer de rachaduras devido ao sulfeto. O artigo “Composition optimization of high–strength steels for sulfide cracking resistance improvement” (Corrosion Science, 2009: 28782884) relatou um estudo em que um aço de composição padrão foi analisado. Os dados a seguir
sobre y= força limítrofe (% SMYS) e x= resistência ( MPa ) foram lidos em um gráfico do artigo (o que também incluiu a equação da reta de mínimos quadrados).
x 635 644 711 708 836 820 810 870 856 923 878 937 948
y 100 93 88 84 77 75 74 63 57 55 47 43 38
\begin{gathered} \Sigma x_{i}=10.576, \Sigma y_{i}=894, \Sigma x_{i}^{2}=8.741 .264 \\\ \Sigma y_{i}^{2}=66.224, \Sigma x_{i} y_{i}=703.192 \end{gathered}
a. Qual proporção da variação observada na força pode ser atribuída à relação linear aproximada entre as duas variáveis?
b. Calcule o desvio padrão estimado s_{\hat{\beta}_{1}}.
c. Calcule um intervalo de confiança usando um nível de confíança de 95 \% para a mudança esperada na força associada ao aumento de 1 MPa na resistência. Parece que essa mudança média verdadeira foi estimada de maneira precisa?

Passo 1

O enunciado fornece os pares (x_i,y_i) com n=13 e os somatórios
\sum x_i=10\,576,\quad \sum y_i=894,\quad \sum x_i^2=8\,741\,264,\quad \sum y_i^2=66\,224,\quad \sum x_i y_i=703\,192.
Queremos
1. a proporção da variação de y explicada linearmente por x (i.,e.\ R^2);
2. o desvio-padrão estimado de \hat\beta_1;
3. um intervalo de confiança de 95\% para \beta_1 (mudança esperada em y ao aumentar x em 1 MPa).

Passo 2

Primeiro calculamos o coeficiente de correlação amostral
r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{\bigl[n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2\bigr]\;\bigl[n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2\bigr]}}.
Substituindo, obtém-se
n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) =13\cdot703\,192 - 10\,576\cdot894 = -313\,448,
n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 =13\cdot8\,741\,264 - (10\,576)^2 =1\,784\,656,
n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2 =13\cdot66\,224 - (894)^2 =61\,676.
Logo
r \approx \frac{-313\,448}{\sqrt{1\,784\,656\cdot61\,676}}\approx -0{,}945,
e
R^2 = r^2\approx0{,}893.

Passo 3

Para o desvio-padrão de \hat\beta_1 precisamos de
S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^2 = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} =8\,741\,264 - \frac{(10\,576)^2}{13}\approx137\,280{,}5,
S_{yy} = \sum (y_i-\bar y)^2 = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} \approx4\,745{,}85,
\hat\beta_1 = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \approx \frac{-313\,448}{1\,784\,656}\approx -0{,}1756.
O resíduo soma de quadrados é
\mathrm{SSE}=S_{yy}-\hat\beta_1^2\,S_{xx}\approx4\,745{,}85 - (0{,}1756)^2\cdot137\,280{,}5\approx513{,}6,
e o desvio-padrão residual
s_e = \sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}} = \sqrt{\frac{513{,}6}{11}}\approx6{,}84.
Por fim
s_{\hat\beta_1} = \frac{s_e}{\sqrt{S_{xx}}} \approx \frac{6{,}84}{\sqrt{137\,280{,}5}}\approx0{,}0185.

Passo 4

O intervalo de confiança de 95\% para \beta_1 é
\hat\beta_1 \pm t_{11,\,0{,}975}\;s_{\hat\beta_1},
onde t_{11,\,0{,}975}\approx2{,}201. Assim
-0{,}1756 \pm 2{,}201\,(0{,}0185) \;\Rightarrow\; [-0{,}2162,\,-0{,}1350].
Como o intervalo é relativamente estreito, a estimativa de \beta_1 foi feita com boa precisão.

Resposta

(a) R^2\approx0{,}893 ( 89,3 % da variação explicada).
(b) s_{\hat\beta_1}\approx0{,}0185.
(c) Intervalo de 95\% para \beta_1: [-0{,}2162,\,-0{,}1350]; a estimativa é precisa.