Durante uma pesquisa, a quantidade de usuários de internet foi medida. A cada vez, foram considerados três grupos aleatórios de dez mil pessoas com 20 , 40 e 60 anos. Os dados são mostrados a seguir ( x_{1} - o número de anos desde o começo da pesquisa, x_{2} - idade, y - número de usuários):
y
1700
1450
220
3300
2800
570
4750
4410
1110
6490
5930
1520
x_{1}
1
1
1
3
3
3
5
5
5
7
7
7
x_{2}
20
40
60
20
40
60
20
40
60
20
40
60
a. Ajuste um modelo de regressão linear múltipla usando x_{1} e x_{2} como regressores.
b. Estime \sigma^{2}.
c. Encontre os erros-padrão dos coeficientes de regressão.
d. Use o modelo para prever o número de usuários no grupo aleatório de pessoas com 40 anos depois de quatro anos de pesquisa.
Passo 1
O enunciado dá doze observações (y_i,x_{1i},x_{2i}) com x_{1} = anos desde o início (valores 1,3,5,7 repetidos três vezes) e x_{2} = idade (20,40,60). Queremos ajustar o modelo de regressão linear múltipla
y = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \varepsilon
por mínimos quadrados, estimar \sigma^{2}, obter os erros-padrão de \hat\beta_{j} e, por fim, prever y em x_{1}=4, x_{2}=40.
Como o desenho é balanceado e as colunas x_{1} e x_{2} são ortogonais após centralizar, podemos usar fórmulas de efeito isolado. Primeiro calculamos médias: