Durante uma pesquisa, a quantidade de usuários de internet foi medida. A cada vez, foram considerados três grupos aleatórios de dez mil pessoas com 20 , 40 e 60 anos. Os dados são mostrados a seguir ( x_{1} - o número de anos desde o começo da pesquisa, x_{2} - idade, y - número de usuários):
y 1700 1450 220 3300 2800 570 4750 4410 1110 6490 5930 1520
x_{1} 1 1 1 3 3 3 5 5 5 7 7 7
x_{2} 20 40 60 20 40 60 20 40 60 20 40 60
a. Ajuste um modelo de regressão linear múltipla usando x_{1} e x_{2} como regressores.
b. Estime \sigma^{2}.
c. Encontre os erros-padrão dos coeficientes de regressão.
d. Use o modelo para prever o número de usuários no grupo aleatório de pessoas com 40 anos depois de quatro anos de pesquisa.

Passo 1

O enunciado dá doze observações (y_i,x_{1i},x_{2i}) com x_{1} = anos desde o início (valores 1,3,5,7 repetidos três vezes) e x_{2} = idade ( 20,40,60). Queremos ajustar o modelo de regressão linear múltipla
y = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \varepsilon
por mínimos quadrados, estimar \sigma^{2}, obter os erros-padrão de \hat\beta_{j} e, por fim, prever y em x_{1}=4, x_{2}=40.

Passo 2

Compute-se as somas necessárias (com n=12):
\sum y = 34250,\quad \sum x_{1} = 48,\quad \sum x_{2} = 480,
\sum x_{1}^{2} = 252,\quad \sum x_{2}^{2} = 22400,\quad \sum x_{1}x_{2} = 1920,
\sum x_{1}y = 172310,\quad \sum x_{2}y = 1113600.
As equações normais são
\begin{cases} 12\,\beta_{0} + 48\,\beta_{1} + 480\,\beta_{2} = 34250,\\\\ 48\,\beta_{0} + 252\,\beta_{1} + 1920\,\beta_{2} = 172310,\\\\ 480\,\beta_{0} + 1920\,\beta_{1} + 22400\,\beta_{2} = 1113600. \end{cases}

Passo 3

Como o desenho é balanceado e as colunas x_{1} e x_{2} são ortogonais após centralizar, podemos usar fórmulas de efeito isolado. Primeiro calculamos médias:
\bar x_{1} = \frac{48}{12} = 4,\quad \bar x_{2} = \frac{480}{12} = 40,\quad \bar y = \frac{34250}{12}\approx2854{,}17.
Define-se
S_{x_{1}y} = \sum x_{1}y - \bar x_{1}\sum y = 172310 - 4\cdot34250 = 35310,
S_{x_{1}x_{1}} = \sum (x_{1}-4)^{2} = 252 -2\cdot4\cdot48 +12\cdot4^{2} = 60,
S_{x_{2}y} = \sum x_{2}y - \bar x_{2}\sum y = 1113600 -40\cdot34250 = -256400,
S_{x_{2}x_{2}} = \sum (x_{2}-40)^{2} = 22400 -2\cdot40\cdot480 +12\cdot40^{2} = 3200.
Logo
\hat\beta_{1} = \frac{S_{x_{1}y}}{S_{x_{1}x_{1}}} = \frac{35310}{60} = 588{,}5, \qquad \hat\beta_{2} = \frac{S_{x_{2}y}}{S_{x_{2}x_{2}}} = \frac{-256400}{3200} = -80{,}125,
e
\hat\beta_{0} = \bar y - \hat\beta_{1}\bar x_{1} - \hat\beta_{2}\bar x_{2} =2854{,}17 -588{,}5\cdot4 -(-80{,}125)\cdot40 \approx3705{,}17.
Portanto o ajuste é
\hat y = 3705{,}17 \;+\;588{,}5\,x_{1}\;-\;80{,}125\,x_{2}.

Passo 4

Para \hat\sigma^{2} precisamos de SSE. Calcula-se
SST = \sum(y-\bar y)^{2} = \sum y^{2} - n\,\bar y^{2} =146953900 -12\cdot(2854{,}17)^{2} \approx49183066{,}7,
e
SSR = \hat\beta_{1}\,S_{x_{1}y} + \hat\beta_{2}\,S_{x_{2}y} \approx588{,}5\cdot35310 +(-80{,}125)\cdot(-256400) =41323985.
Logo
SSE = SST - SSR \approx49183066{,}7 - 41323985 = 7859081{,}7,
e o estimador é
\hat\sigma^{2} = \frac{SSE}{n-3} = \frac{7859081{,}7}{9} \approx873231{,}3.

Passo 5

Como x_{1} e x_{2} são ortogonais centralizados, vale
\Var(\hat\beta_{1}) = \frac{\hat\sigma^{2}}{S_{x_{1}x_{1}}} = \frac{873231{,}3}{60}, \quad \Var(\hat\beta_{2}) = \frac{\hat\sigma^{2}}{S_{x_{2}x_{2}}} = \frac{873231{,}3}{3200},
\Var(\hat\beta_{0}) = \hat\sigma^{2}\Bigl[\frac1n + \frac{\bar x_{1}^{2}}{S_{x_{1}x_{1}}} + \frac{\bar x_{2}^{2}}{S_{x_{2}x_{2}}}\Bigr].
Assim os erros-padrão são
\text{se}(\hat\beta_{1}) = \sqrt{\frac{873231{,}3}{60}}\approx120{,}65, \quad \text{se}(\hat\beta_{2}) = \sqrt{\frac{873231{,}3}{3200}}\approx16{,}52,
\text{se}(\hat\beta_{0}) = \sqrt{873231{,}3\,(0{,}0833+0{,}2667+0{,}5)} \approx861{,}3.

Passo 6

Para prever em x_{1}=4, x_{2}=40:
\hat y(4,40) =3705{,}17 +588{,}5\cdot4 -80{,}125\cdot40 =2854{,}17.

Resposta

(a) \displaystyle \hat y = 3705{,}17 + 588{,}5\,x_{1} - 80{,}125\,x_{2}.
(b) \displaystyle \hat\sigma^{2} \approx 873231{,}3.
(c) \displaystyle \text{se}(\hat\beta_{0})\approx861{,}3,\quad \text{se}(\hat\beta_{1})\approx120{,}65,\quad \text{se}(\hat\beta_{2})\approx16{,}52.
(d) \displaystyle \hat y(4,40)\approx2854{,}17.