Encontrar a função geradora ordinária para cada uma das seqüências abaixo:
(f) (0,4,0,4,0,4, \ldots)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (0,4,0,4,0,4,\ldots) e pede sua função geradora ordinária. Vamos usar a definição de função geradora e a soma de uma série geométrica para encontrar uma expressão fechada.

Passo 2

Pela definição, a função geradora ordinária G(x) é
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}.
Aqui a_{2k}=0 e a_{2k+1}=4. Logo só há termos não nulos para índices ímpares, e
G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}4\,x^{2k+1}.

Passo 3

Fatorando o x e reconhecendo uma série geométrica, obtemos
G(x) =4\,x\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^{k} =4\,x\;\frac{1}{1-x^2},
válido para |x|<1.

Resposta

G(x)=\frac{4x}{1-x^2}.