Encontrar a função geradora ordinária para cada uma das seqüências abaixo:
(i) \left(a_{k}\right)=\left(\frac{2^{k}}{k!}\right).

Passo 1

O enunciado pede a função geradora ordinária da sequência
\displaystyle a_{k} = \frac{2^{k}}{k!},
ou seja, queremos encontrar
G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}.
O conteúdo aqui é séries de potências e reconhecimento da série da exponencial.

Passo 2

Pela definição de função geradora ordinária, temos
G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}\,x^{k}.

Passo 3

Agrupando 2^k com x^k, reescrevemos a soma como
G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2x)^{k}}{k!}.

Passo 4

Reconhecemos que a série
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}
é a definição da função exponencial e^{z}. Aqui basta tomar z=2x.

Resposta

G(x)=e^{2x}.