Encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão do conjunto de dados populacional.
12 \quad 9 \quad 7 \quad 5 \quad 7 \quad 8 \quad 10 \quad 4 \quad 11 \quad 6

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto populacional de tamanho N=10:
12,\;9,\;7,\;5,\;7,\;8,\;10,\;4,\;11,\;6.
Vamos usar as seguintes definições:
1. Amplitude
\max_i x_i - \min_i x_i
2. Média populacional
\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i
3. Variância populacional
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2
4. Desvio padrão populacional \sigma = \sqrt{\sigma^2}

Passo 2

Dos dados observamos que \min_i x_i = 4 e \max_i x_i = 12.
Logo a amplitude é
\max_i x_i - \min_i x_i = 12 - 4 = 8.

Passo 3

Para calcular a média populacional, somamos todos os valores:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 12 + 9 + 7 + 5 + 7 + 8 + 10 + 4 + 11 + 6 = 79.
Como N=10,
\bar x = \frac{79}{10} = 7,9.

Passo 4

Agora calculamos as somas dos quadrados dos desvios em relação à média. As diferenças ao quadrado são:
(12 - 7,9)^2 = 16,81,\quad (9 - 7,9)^2 = 1,21,\quad (7 - 7,9)^2 = 0,81.
(5 - 7,9)^2 = 8,41,\quad (7 - 7,9)^2 = 0,81,\quad (8 - 7,9)^2 = 0,01.
(10 - 7,9)^2 = 4,41,\quad (4 - 7,9)^2 = 15,21,\quad (11 - 7,9)^2 = 9,61,\quad (6 - 7,9)^2 = 3,61.
Somando todos esses valores:
\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar x)^2 = 60,90.

Passo 5

Aplicando a definição da variância populacional:
\sigma^2 = \frac{60,90}{10} = 6,09.
E o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{6,09} \approx 2,47.

Resposta

Amplitude: 8
Média populacional: 7,9
Variância populacional: 6,09
Desvio padrão populacional: 2,47