Encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão do conjunto de dados populacional.
1 \begin{array}{lllllll}15 & 24 & 17 & 19 & 20 & 18 & 20\end{array}
\begin{array}{lllllll}16 & 21 & 23 & 17 & 18 & 22 & 14\end{array}

Passo 1

O enunciado pede que, para o conjunto de dados populacional
15,24,17,19,20,18,20,16,21,23,17,18,22,14,
encontremos a amplitude (ou alcance), a média aritmética, a variância populacional e o desvio padrão populacional. Vamos usar as fórmulas básicas de estatística:
  • Amplitude: diferença entre valor máximo e mínimo.
  • Média populacional: \displaystyle \overline x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
  • Variância populacional: \displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline x)^2, que também vale \displaystyle \frac{1}{N}\sum x_i^2 - \overline x^2.
  • Desvio padrão: \displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2}.

Passo 2

Para a amplitude, identificamos o menor e o maior valor do conjunto:
\min x_i = 14,\quad \max x_i = 24.
Logo,
\text{Amplitude} = 24 - 14 = 10.

Passo 3

Vamos calcular a média. Primeiro a soma dos 14 valores:
\sum_{i=1}^{14}x_i = 264.
Como N=14, temos
\overline x = \frac{264}{14} = \frac{132}{7}\approx 18{,}8571.

Passo 4

Agora a variância populacional. Precisamos de \sum x_i^2:
\sum_{i=1}^{14}x_i^2 = 5094.
Usando a fórmula
\sigma^2 = \frac{1}{14}\sum_{i=1}^{14}x_i^2 \;-\;\overline x^{2} = \frac{5094}{14} \;-\;\Bigl(\frac{264}{14}\Bigr)^{2} = \frac{2547}{7} - \frac{17424}{49} = \frac{405}{49} \approx 8{,}2653.

Passo 5

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\frac{405}{49}} = \frac{9\sqrt{5}}{7} \approx 2{,}875.

Resposta

Amplitude: 10
Média: \displaystyle \frac{132}{7}\approx 18{,}8571
Variância populacional: \displaystyle \frac{405}{49}\approx 8{,}2653
Desvio padrão populacional: \displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{7}\approx 2{,}875