Nos exercicios de 3 a 6, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique.
Se dois eventos são independentes, então eles também são mutuamente exclusivos.
Se dois eventos são independentes, então eles também são mutuamente exclusivos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação “se dois eventos são independentes, então eles também são mutuamente exclusivos” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teoria de probabilidade, mais precisamente as definições de independência de eventos e de exclusão mútua.
Passo 2
Definimos primeiramente os conceitos:
– Dois eventos e
são independentes se
– Dois eventos
– Dois eventos
e
são mutuamente exclusivos se
Passo 3
Se a afirmação fosse verdadeira, toda vez que tivéssemos
seria também
. Isso exigiria
ou seja, pelo menos um dos dois eventos teria probabilidade zero. Logo, só haveria independência e exclusão mútua ao mesmo tempo em casos triviais (quando um dos eventos é impossível). Portanto, em geral, independência não implica exclusão mútua.
Passo 4
Um contraexemplo clássico usa duas jogadas de moeda:
– Seja o evento “cara na primeira jogada” e
o evento “cara na segunda jogada”.
– Temos ,
e
– Seja
– Temos
portanto
e
são independentes.
Porém , então eles não são mutuamente exclusivos.
Porém
Resposta
Falsa. Eventos independentes não precisam ser mutuamente exclusivos; só o são simultaneamente em casos triviais de probabilidade zero.