Nos exercicios de 3 a 6, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique.
Se dois eventos são independentes, então eles também são mutuamente exclusivos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “se dois eventos são independentes, então eles também são mutuamente exclusivos” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teoria de probabilidade, mais precisamente as definições de independência de eventos e de exclusão mútua.

Passo 2

Definimos primeiramente os conceitos:
– Dois eventos A e B são independentes se
\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\,\Pr(B).
– Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se
\Pr(A\cap B)=0.

Passo 3

Se a afirmação fosse verdadeira, toda vez que tivéssemos \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B) seria também \Pr(A\cap B)=0. Isso exigiria
\Pr(A)\,\Pr(B)=0,
ou seja, pelo menos um dos dois eventos teria probabilidade zero. Logo, só haveria independência e exclusão mútua ao mesmo tempo em casos triviais (quando um dos eventos é impossível). Portanto, em geral, independência não implica exclusão mútua.

Passo 4

Um contraexemplo clássico usa duas jogadas de moeda:
– Seja A o evento “cara na primeira jogada” e B o evento “cara na segunda jogada”.
– Temos \Pr(A)=\tfrac12, \Pr(B)=\tfrac12 e
\Pr(A\cap B)=\tfrac14=\Pr(A)\,\Pr(B),
portanto A e B são independentes.
Porém \Pr(A\cap B)=\tfrac14\neq0, então eles não são mutuamente exclusivos.

Resposta

Falsa. Eventos independentes não precisam ser mutuamente exclusivos; só o são simultaneamente em casos triviais de probabilidade zero.