A função de distribuição de X\) é dada por:
\[F_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<-2 \\\ \frac{1}{10}(x+2), & \text { se }-2 \leq x<0 \\\ \frac{1}{5}+\frac{x}{10}+\frac{3 x^{2}}{250}, & \text { se } 0 \leq x<5 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 5\end{cases}
a. Calcule E(X)\], sem obter primeiro a densidade de \(X.
b. Obtenha E\left(X^{2}\right), via densidade de X.
c. Obtenha E\left(X^{2}\right), via densidade de X^{2}.
Passo 1
O enunciado fornece a função de distribuição acumulada F_X(x) em quatro pedaços e pede:
a) calcular \,E(X) diretamente de F_X sem achar a densidade,
b) calcular \,E(X^2) usando a densidade de X (isto é, f_X=F_X'),
c) calcular \,E(X^2) construindo a densidade de Y=X^2.
Para isso vamos usar (i) a fórmula de “integração por partes” para esperança a partir de F, (ii) derivar F_X para obter f_X e (iii) a transformação de variáveis para Y=X^2.
Passo 2
Para calcular E(X) sem achar f_X usaremos a identidade