Um grupo de 15 estudantes realizou um experimento em que foi medido o coeficiente de expansão térmica do alumínio. Os resultados são apresentados a seguir:
22,025,925,623,122,725,624,921,926,124,323,520,721,423,520,4
a. Existe evidência forte para concluir que o desvio-padrão nesse experimento exceda 3? Use \alpha= 0,05 .
b. Encontre o valor P para este teste.
c. Suponha que o desvio-padrão verdadeiro seja 1. Quantas medições seriam requeridas para que essa diferença fosse detectada com a probabilidade de, pelo menos, 0,9 ? Use \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=15 medições do coeficiente de expansão térmica do alumínio:
22{,}0,\;25{,}9,\;25{,}6,\;23{,}1,\;22{,}7,\;25{,}6,\;24{,}9,\;21{,}9,\;26{,}1,\;24{,}3,\;23{,}5,\;20{,}7,\;21{,}4,\;23{,}5,\;20{,}4.
Queremos testar
H_0:\sigma\le3 \quad\text{versus}\quad H_1:\sigma>3
ao nível \alpha=0,05, usando o teste qui-quadrado para variância. Depois calculamos o P
–valor desse teste. Por fim, supondo que o desvio-padrão verdadeiro seja \sigma=1, investigamos se existe n tal que o poder seja \ge0{,}9.

Passo 2

Calcular média amostral e variância amostral:
\sum_{i=1}^{15}x_i = 351{,}6, \quad \bar x = \frac{351{,}6}{15} = 23{,}44,
\sum_{i=1}^{15}x_i^2 = 8292{,}86,
s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x_i^2 - n\,\bar x^2\Bigr) = \frac{1}{14}\bigl(8292{,}86 - 15\cdot23{,}44^2\bigr) \approx 3{,}668,
s = \sqrt{s^2}\approx 1{,}916.

Passo 3

O estatístico de teste é
\chi^2_{\text{obs}} = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2} = \frac{14\cdot3{,}668}{3^2} \approx 5{,}706.
A região de rejeição (um só lado para \sigma>3) é
\chi^2_{\text{obs}} > \chi^2_{0{,}95;14} \approx 23{,}685.
Como 5{,}706 < 23{,}685, não rejeitamos H_0.

Passo 4

O P
–valor é
P = P\bigl(\chi^2_{14} > 5{,}706\bigr) \approx 0{,}98.

Passo 5

Para \sigma_{\text{verd}}=1, sob H_1 o estatístico \chi^2=(n-1)s^2/3^2 distribui-se como \chi^2_{n-1}/9, e rejeitamos se
\chi^2_{n-1} > 9\,\chi^2_{0{,}95;n-1}.
A potência é
1 - F_{\chi^2;n-1}\!\bigl(9\,\chi^2_{0{,}95;n-1}\bigr),
que decai para zero à medida que n cresce. Logo, não existe n finito que torne esse poder \ge0{,}9 num teste unilateral para \sigma>3.

Resposta

a) Não rejeita H_0 (não há evidência de \sigma>3)
b) P
–valor \approx 0{,}98
c) Não existe número finito de medições que atinja potência \ge0{,}9 para detectar \sigma=1 num teste unilateral de \sigma>3.