Partículas radioativas chegam a um contador segundo um processo de Poisson com uma taxa média de três por seguido, mas o contador registra somente cada segunda partícula (i.e., são registradas somente as partículas n. ^circ 2,4,6, ldots ).
(a) Seja Xt o número de partículas registradas até o tempo t. É um processo de Poisson? Se for, qual o parâmetro? Se não for, explique o porquê.
(b) Supondo que o contador registrou exatamente uma particula durante o primeiro segundo, qual a probabilidade de que ele não registre mais partícula alguma antes do tempo 2?

Passo 1

O enunciado diz que as chegadas originais formam um processo de Poisson de taxa por segundo, mas o contador só registra as partículas de número . Definimos como o número de registros até o tempo . A pergunta (a) é se é um processo de Poisson e, em caso afirmativo, com que parâmetro; caso negativo, por que não.

Passo 2

Note que o instante em que ocorre o fI(u)=3^2,u,e^-3u=9u,e^-3u, u>=0 -ésimo registro é justamente o instante em que a contagem original atinge . Logo, o tempo entre o -ésimo e o -ésimo registro é a soma de duas variáveis independentes . Essa soma é uma variável com densidade

Passo 3

Um processo de Poisson deve ter tempos entre eventos i.i.d. exponenciais. Aqui, os tempos entre registros são Pl(XDe, que não é exponencial (não tem propriedade de falta de memória). Alternativamente, para um pequeno
que não é . Logo, \{X_t\} não é processo de Poisson.

Passo 4

Para (b), queremos
Pl(nenhum registro em (1,2]m|;X1=1r)
Denotemos P=Pl(S1<=12r)Pl(S1<=12-ur),duintegral0^1Pl(S1=u,;I2>1-ur),du, o tempo do primeiro registro e o do segundo. O evento equivale a . Assim
onde é independente de (que também é ).

Passo 5

Calculemos o numerador
N=integral0^1 fS1(u),P(I2>2-u),du =integral0^1 9u,e^-3u;l[e^-3(2-u)l(1+3(2-u)r)r],du
Como N=e^-6integral0^1 9ul(1+6-3ur),du =e^-6,9integral0^1(7u-3u^2),du =e^-6,9l[tfrac72-1r] =22,5,e^-6 , isso vira

Passo 6

O denominador é
D=integral0^1 9u,e^-3u;P(I2>1-u),du =integral0^1 9u,e^-3u;l[e^-3(1-u)(1+3(1-u))r],du
Novamente D=e^-3,9integral0^1(4u-3u^2),du =e^-3,9l[2-1r] =9,e^-3 , então

Passo 7

Assim
P=ND=22,5,e^-69,e^-3=2,5,e^-3approx0,1245

Resposta

(a) Não. não é um processo de Poisson porque os tempos entre registros são , não exponenciais.
(b) .