Partículas radioativas chegam a um contador segundo um processo de Poisson com uma taxa média de três por seguido, mas o contador registra somente cada segunda partícula (i.e., são registradas somente as partículas n. ).
(a) Seja o número de partículas registradas até o tempo . É um processo de Poisson? Se for, qual o parâmetro? Se não for, explique o porquê.
(b) Supondo que o contador registrou exatamente uma particula durante o primeiro segundo, qual a probabilidade de que ele não registre mais partícula alguma antes do tempo 2?
Passo 1
O enunciado diz que as chegadas originais formam um processo de Poisson de taxa por segundo, mas o contador só registra as partículas de número . Definimos como o número de registros até o tempo . A pergunta (a) é se é um processo de Poisson e, em caso afirmativo, com que parâmetro; caso negativo, por que não.
Passo 2
Note que o instante em que ocorre o -ésimo registro é justamente o instante em que a contagem original atinge . Logo, o tempo entre o -ésimo e o -ésimo registro é a soma de duas variáveis independentes . Essa soma é uma variável com densidade
Passo 3
Um processo de Poisson deve ter tempos entre eventos i.i.d. exponenciais. Aqui, os tempos entre registros são , que não é exponencial (não tem propriedade de falta de memória). Alternativamente, para um pequeno
que não é . Logo, \{X_t\} não é processo de Poisson.
Passo 4
Para (b), queremos
Denotemos P=Pl(S1<=12r)Pl(S1<=12-ur),duintegral0^1Pl(S1=u,;I2>1-ur),du, o tempo do primeiro registro e o do segundo. O evento equivale a . Assim