Partículas radioativas chegam a um contador segundo um processo de Poisson com uma taxa média de três por seguido, mas o contador registra somente cada segunda partícula (i.e., são registradas somente as partículas n. ^circ 2,4,6, ldots ).
(a) Seja Xt o número de partículas registradas até o tempo t. É Xt: t >= 0 um processo de Poisson? Se for, qual o parâmetro? Se não for, explique o porquê.
(b) Supondo que o contador registrou exatamente uma particula durante o primeiro segundo, qual a probabilidade de que ele não registre mais partícula alguma antes do tempo 2?

Passo 1

O enunciado diz que as chegadas originais formam um processo de Poisson de taxa lambda=3 por segundo, mas o contador só registra as partículas de número 2,4,6,dots. Definimos Xt como o número de registros até o tempo t. A pergunta (a) é se Xt:t>=0 é um processo de Poisson e, em caso afirmativo, com que parâmetro; caso negativo, por que não.

Passo 2

Note que o instante em que ocorre o k-ésimo registro é justamente o instante em que a contagem original atinge 2k. Logo, o tempo entre o (k-1)-ésimo e o k-ésimo registro é a soma de duas variáveis independentes Exp(3). Essa soma é uma variável Erlang(2,3) com densidade
fI(u)=3^2,u,e^-3u=9u,e^-3u, u>=0

Passo 3

Um processo de Poisson deve ter tempos entre eventos i.i.d. exponenciais. Aqui, os tempos entre registros são Erlang(2,3), que não é exponencial (não tem propriedade de falta de memória). Alternativamente, para um pequeno De<a t
Pl(XDe<a t=1r)=P(NDe<a t=2)=e^-3De<a t(3De<a t)^22approx92(De<a t)^2,
que não é O(De<a t). Logo, \{X_t\} não é processo de Poisson.

Passo 4

Para (b), queremos
Pl(nenhum registro em (1,2]m|;X1=1r)
Denotemos S1 o tempo do primeiro registro e S2 o do segundo. O evento X1=1 equivale a S1<=1<S2. Assim
P=Pl(S1<=1<S2<=infty,,,S2>2r)Pl(S1<=1<S2<=inftyr) =integral0^1Pl(S1=u,;I2>2-ur),duintegral0^1Pl(S1=u,;I2>1-ur),du,
onde I2=S2-S1simErlang(2,3) é independente de S1 (que também é Erlang(2,3)).

Passo 5

Calculemos o numerador
N=integral0^1 fS1(u),P(I2>2-u),du =integral0^1 9u,e^-3u;l[e^-3(2-u)l(1+3(2-u)r)r],du
Como e^-3ue^-3(2-u)=e^-6, isso vira
N=e^-6integral0^1 9ul(1+6-3ur),du =e^-6,9integral0^1(7u-3u^2),du =e^-6,9l[tfrac72-1r] =22,5,e^-6

Passo 6

O denominador é
D=integral0^1 9u,e^-3u;P(I2>1-u),du =integral0^1 9u,e^-3u;l[e^-3(1-u)(1+3(1-u))r],du
Novamente e^-3ue^-3(1-u)=e^-3, então
D=e^-3,9integral0^1(4u-3u^2),du =e^-3,9l[2-1r] =9,e^-3

Passo 7

Assim
P=ND=22,5,e^-69,e^-3=2,5,e^-3approx0,1245

Resposta

(a) Não. Xt não é um processo de Poisson porque os tempos entre registros são Erlang(2,3), não exponenciais.
(b) 2,5,e^-3approx0,1245.

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