Os principais defeitos que causam problemas em um computador são: mau contato nas memórias (D1); mau contato nas placas de expansão: vídeo, som, rede (D2); aquecimento, devido ao excesso de poeira (D3); e outros (D4). Uma manutenção preventiva diminui o risco de seu computador apresentar esses defeitos.
Essa manutenção consiste em fazer uma limpeza geral do computador e procurar por falhas de hardware e de software.
Admita que:
  • sem manutenção preventiva, ao longo de um ano seu computador pode apresentar os defeitos D1, D2, D3 e D4, cujas probabilidades de ocorrer são de 4 \%, 4 \%, 6 \% e 6 \%, respectivamente.
  • se for feita uma manutenção preventiva, as probabilidades de que o seu computador apresente os defeitos D1, D2, D3 e D4 ao longo de um ano caem para 1,2 \%, 1,2 \%, 1,8 \% e 1,8 \%, respectivamente.
  • as eventuais ocorrências dos problemas D1, D2, D3 e D4 são eventos independentes, com ou sem manutenção preventiva.
    a) Qual é a probabilidade de que o seu computador apresente algum defeito ao longo de um ano, se você não fizer manutenção preventiva?
    b) E se você fizer manutenção preventiva?

Passo 1

No enunciado temos quatro defeitos independentes D_1, D_2, D_3 e D_4 com probabilidades dadas em dois cenários (sem e com manutenção preventiva). Precisamos calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos um desses defeitos em um ano. O conteúdo que usaremos é a probabilidade de união de eventos independentes via complemento do evento nenhum ocorrer.

Passo 2

Para eventos independentes D_1,\dots,D_4 com probabilidades p_i = \mathbb{P}(D_i), a probabilidade de nenhum defeito ocorrer é
\prod_{i=1}^4 (1 - p_i),
logo a probabilidade de pelo menos um defeito é
1 - \prod_{i=1}^4 (1 - p_i).

Passo 3

Sem manutenção temos
p_1 = p_2 = 0,04,\quad p_3 = p_4 = 0,06.
Então
\prod_{i=1}^4 (1 - p_i) = (1 - 0,04)^2 \,(1 - 0,06)^2 = 0,96^2 \times 0,94^2 \approx 0,8143,
e
\mathbb{P}(\text{algum defeito sem manutenção}) = 1 - 0,8143 = 0,1857.çã

Passo 4

Com manutenção preventiva temos
p_1' = p_2' = 0,012,\quad p_3' = p_4' = 0,018.
Assim,
\prod_{i=1}^4 (1 - p_i') = (1 - 0,012)^2 \,(1 - 0,018)^2 = 0,988^2 \times 0,982^2 \approx 0,9413,
e
\mathbb{P}(\text{algum defeito com manutenção}) = 1 - 0,9413 = 0,0587.çã

Resposta

(a) 0,1857 (aproximadamente 18,57\%)
(b) 0,0587 (aproximadamente 5,87\%)