Prove que se
assume valores somente no intervalo
, entâ(s)
e
. (Sugestão. Faça primeiro para
). Exiba uma variável aleatória que atinge a variância máxima.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas para uma variável aleatória
com suporte em
:
- Que
- Que
A sugestão é provar primeiro o caso
e depois usar um transporte afim para o caso geral.
Passo 2
Considere primeiro
tal que
quase certamente.
– Como temos
.
– Como temos
.
Logo
– Como
– Como
Logo
Para a variância usamos
Mas em
vale
, logo
Portanto
onde
.
Passo 3
A função
no intervalo
atinge máximo igual a
em
. Logo
Uma variável que atinge essa cota é a Bernoulli de parâmetro
:
pois então
e
.
Passo 4
Agora volte ao caso geral em
. Defina
então
. Pelos passos anteriores
Como
segue
que garante
, e
Para atingir a cota basta escolher
Bernoulli
, ou seja
Resposta
A cota de variância é atingida por