Prove que se X assume valores somente no intervalo [a, b], entâ(s) a <= E X <= b e Var X <= (b-a)^24. (Sugestão. Faça primeiro para a=0, b=1 ). Exiba uma variável aleatória que atinge a variância máxima.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas para uma variável aleatória X com suporte em [a,b]:
  1. Que
a ;<=; E[X];<=; b
  1. Que
Var(X);<=;(b-a)^24
A sugestão é provar primeiro o caso [0,1] e depois usar um transporte afim para o caso geral.

Passo 2

Considere primeiro X tal que 0<= X<=1 quase certamente.
– Como X>=0 temos E[X]>=0.
– Como X<=1 temos E[X]<=1.
Logo
0;<=;E[X];<=;1
Para a variância usamos
Var(X)=E[X^2];-;(E[X])^2
Mas em [0,1] vale X^2<= X, logo
E[X^2];<=;E[X]
Portanto
Var(X);<=;E[X];-;(E[X])^2 =;p(1-p),
onde p=E[X].

Passo 3

A função p(1-p) no intervalo [0,1] atinge máximo igual a tfrac14 em p=tfrac12. Logo
Var(X);<=;14
Uma variável que atinge essa cota é a Bernoulli de parâmetro 1/2:
P(X=0)=P(X=1)=12,
pois então E[X]=tfrac12 e Var(X)=tfrac14.

Passo 4

Agora volte ao caso geral em [a,b]. Defina
Y=X-ab-a,
então Yin[0,1]. Pelos passos anteriores
0<= E[Y]<=1, Var(Y)<=14
Como X=a+(b-a)Y segue
E[X]=a+(b-a)E[Y],
que garante a<= E[X]<= b, e
Var(X)=(b-a)^2Var(Y)<=(b-a)^24
Para atingir a cota basta escolher Y Bernoulli (1/2), ou seja
P(X=a)=P(X=b)=12

Resposta

a ;<=; E[X];<=; b, Var(X);<=;(b-a)^24
A cota de variância é atingida por
P(X=a)=P(X=b)=12

Exercícios de Livros Relacionados