Prove que se X assume valores somente no intervalo [a, b], entâ(s) a <= E X <= b e Var X <= (b-a)^24. (Sugestão. Faça primeiro para a=0, b=1 ). Exiba uma variável aleatória que atinge a variância máxima.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas para uma variável aleatória a ;<=; E[X];<=; b com suporte em Var(X);<=;(b-a)^24 :
  1. Que
  1. Que
A sugestão é provar primeiro o caso e depois usar um transporte afim para o caso geral.

Passo 2

Considere primeiro 0;<=;E[X];<=;1 tal que Var(X)=E[X^2];-;(E[X])^2 quase certamente.
– Como E[X^2];<=;E[X] temos Var(X);<=;E[X];-;(E[X])^2 =;p(1-p), .
– Como temos .
Logo
Para a variância usamos
Mas em vale , logo
Portanto
onde .

Passo 3

A função Var(X);<=;14 no intervalo P(X=0)=P(X=1)=12, atinge máximo igual a em . Logo
Uma variável que atinge essa cota é a Bernoulli de parâmetro :
pois então e .

Passo 4

Agora volte ao caso geral em Y=X-ab-a, . Defina
0<= E[Y]<=1, Var(Y)<=14
então E[X]=a+(b-a)E[Y], . Pelos passos anteriores
Var(X)=(b-a)^2Var(Y)<=(b-a)^24
Como P(X=a)=P(X=b)=12 segue
que garante , e
Para atingir a cota basta escolher Bernoulli , ou seja

Resposta

a ;<=; E[X];<=; b, Var(X);<=;(b-a)^24
A cota de variância é atingida por
P(X=a)=P(X=b)=12